2898. Trigonometrijske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Ovo je linearna trigonometrijska jednačina oblika $a \sin x + b \cos x = c .$ Rešavamo je uvođenjem univerzalne smene $t = \tan \frac{x}{2} .$

Pre uvođenja smene, proveravamo da li je $x = \pi + 2k\pi$ rešenje jednačine, jer za te vrednosti $\tan \frac{x}{2}$ nije definisan.

4 \sin \pi - 6 \cos \pi = 4 \cdot 0 - 6 \cdot (-1) = 6 \neq 1

Pošto $x = \pi + 2k\pi$ nije rešenje, možemo bezbedno da uvedemo smenu. Izražavamo $\sin x$ i $\cos x$ preko $t .$

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Zamenjujemo ove izraze u polaznu jednačinu.

4 \cdot \frac{2t}{1+t^2} - 6 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1

Množimo celu jednačinu sa $1+t^2$ (što je uvek veće od nule).

8t - 6(1-t^2) = 1+t^2

Oslobađamo se zagrada.

8t - 6 + 6t^2 = 1 + t^2

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

5t^2 + 8t - 7 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7)}}{2 \cdot 5}

Računamo vrednost pod korenom.

t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 140}}{10} = \frac{-8 \pm \sqrt{204}}{10}

Pojednostavljujemo koren, znajući da je $204 = 4 \cdot 51 .$

t_{1,2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{51}}{10} = \frac{2(-4 \pm \sqrt{51})}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{51}}{5}

Vraćamo smenu $t = \tan \frac{x}{2} .$

\tan \frac{x}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{51}}{5}

Izražavamo $\frac{x}{2}$ koristeći funkciju arkus tangens.

\frac{x}{2} = \arctan \frac{-4 \pm \sqrt{51}}{5} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Množimo sa 2 da bismo dobili konačno rešenje za $x .$

x = 2 \arctan \frac{-4 \pm \sqrt{51}}{5} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

954