Homogena jednačina sa 2 kvadrat sinusa i 3 kvadrat

Data jednačina je homogena trigonometrijska jednačina drugog stepena. Prvo proveravamo da li je $\cos x = 0$ rešenje jednačine. Ako je $\cos x = 0 ,$ tada je $\sin^2 x = 1 ,$ pa zamenom u jednačinu dobijamo $2(1) - 0 + 0 = 2 \neq 0 .$ Zaključujemo da $\cos x \neq 0 .$

Pošto je $\cos x \neq 0 ,$ možemo podeliti celu jednačinu sa $\cos^2 x .$

\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0

Koristeći identitet $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ,$ jednačina postaje:

2 \tan^2 x - 5 \tan x + 3 = 0

Uvodimo smenu $t = \tan x$ i dobijamo kvadratnu jednačinu:

2t^2 - 5t + 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}

Rešenja kvadratne jednačine su:

t_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{4}{4} = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = \frac{3}{2} :$

\tan x = \frac{3}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 1 :$

\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje jednačine je unija dobijenih rešenja:

x \in \left\{ \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Započni učenje

Online časovi

953

Beleške