2897.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 947-952):

cos⁡2(π3cos⁡x−8π3)=1\cos^2 \left(\frac{\pi}{3} \cos x - \frac{8\pi}{3}\right) = 1
REŠENJE ZADATKA

Jednačina oblika cos⁡2α=1 \cos^2 \alpha = 1 znači da je cos⁡α=1 \cos \alpha = 1 ili cos⁡α=−1, \cos \alpha = -1 , što se može zapisati kao α=kπ, \alpha = k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} . Primenjujemo ovo na našu jednačinu:

π3cos⁡x−8π3=kπ\frac{\pi}{3} \cos x - \frac{8\pi}{3} = k\pi

Delimo celu jednačinu sa π \pi i množimo sa 3 3 kako bismo izrazili cos⁡x: \cos x :

cos⁡x−8=3k  ⟹  cos⁡x=3k+8\cos x - 8 = 3k \implies \cos x = 3k + 8

Znamo da vrednost kosinusa mora biti u intervalu [−1,1]. [-1, 1] . Postavljamo uslov:

−1≤3k+8≤1-1 \le 3k + 8 \le 1

Rešavamo dvostruku nejednačinu po k. k . Oduzimamo 8 8 od svih strana:

−9≤3k≤−7-9 \le 3k \le -7

Delimo sa 3: 3 :

−3≤k≤−73-3 \le k \le -\frac{7}{3}

Pošto k k mora biti ceo broj (k∈Z k \in \mathbb{Z} ), jedini ceo broj koji zadovoljava ovaj uslov je:

k=−3k = -3

Zamenjujemo vrednost k=−3 k = -3 nazad u izraz za cos⁡x: \cos x :

cos⁡x=3(−3)+8=−9+8=−1\cos x = 3(-3) + 8 = -9 + 8 = -1

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu cos⁡x=−1: \cos x = -1 :

x=π+2mπ=(2m+1)π,m∈Zx = \pi + 2m\pi = (2m + 1)\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti