Jednačina sa tangensom i dvostrukim kotangensom

Prvo, određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Funkcije tangens i kotangens su definisane kada je imenilac različit od nule, odnosno kada je $\sin x \neq 0$ i $\cos x \neq 0 .$

x \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje tangens i kotangens:

\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}

Zamenjujemo ovaj identitet u početnu jednačinu:

\operatorname{tg} x + \frac{2}{\operatorname{tg} x} = 3

Uvodimo smenu $t = \operatorname{tg} x .$ Jednačina se svodi na algebarsku:

t + \frac{2}{t} = 3

Množimo celu jednačinu sa $t$ (uz uslov $t \neq 0$ ) i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

t^2 - 3t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 2, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu $t = \operatorname{tg} x$ za rešenje $t_2 = 1$ i rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za rešenje $t_1 = 2$ i rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg} 2 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Oba dobijena skupa rešenja pripadaju domenu jednačine. Konačno rešenje je unija ova dva skupa:

x \in \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi \right\} \cup \left\{ \operatorname{arctg} 2 + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

926

Beleške