2855. Trigonometrijske jednačine

Prvo, odredimo oblast definisanosti jednačine. Zbog funkcije tangens mora važiti uslov:

\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izrazimo $\sin 2x$ preko $\operatorname{tg} x$ koristeći poznati trigonometrijski identitet:

\sin 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x}

Zamenimo ovaj identitet u početnu jednačinu:

(1 + \operatorname{tg}^2 x) \left(1 + \frac{2\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x}\right) = 1

Pomnožimo zagrade, odnosno distribuiramo $(1 + \operatorname{tg}^2 x)$ na svaki član u drugoj zagradi:

(1 + \operatorname{tg}^2 x) + (1 + \operatorname{tg}^2 x) \cdot \frac{2\operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = 1

Skratimo razlomak i sredimo izraz:

1 + \operatorname{tg}^2 x + 2\operatorname{tg} x = 1

Oduzmemo 1 sa obe strane jednačine:

\operatorname{tg}^2 x + 2\operatorname{tg} x = 0

Uvedimo smenu $t = \operatorname{tg} x .$ Jednačina se svodi na algebarsku:

t^2 + 2t = 0

Izvučemo zajednički činilac $t$ ispred zagrade:

t(t + 2) = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli. Rešenja ove algebarske jednačine su:

t_1 = 0, \quad t_2 = -2

Vratimo smenu za prvi slučaj $t_1 = 0 :$

\operatorname{tg} x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vratimo smenu za drugi slučaj $t_2 = -2 :$

\operatorname{tg} x = -2 \implies x = -\operatorname{arctg}(2) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Oba dobijena rešenja zadovoljavaju početni uslov definisanosti $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi .$ Konačno rešenje je:

x_1 = k\pi, \quad x_2 = -\operatorname{arctg}(2) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

2855.Trigonometrijske jednačine