2607. Trigonometrijske funkcije poluugla

Koristimo formule za univerzalnu trigonometrijsku smenu preko tangensa polovine ugla, $t = \text{tg} \frac{x}{2} ,$ da bismo izrazili $\sin x$ i $\cos x .$

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Zamenjujemo datu vrednost $t = 2$ u formulu za $\sin x .$

\sin x = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}

Zamenjujemo datu vrednost $t = 2$ u formulu za $\cos x .$

\cos x = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}

Računamo vrednosti za $\text{tg} x$ i $\text{ctg} x$ koristeći dobijene vrednosti sinusa i kosinusa.

\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}, \quad \text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x} = -\frac{3}{4}

Zamenjujemo sve izračunate vrednosti u početni izraz za $A .$

A = \frac{\frac{4}{5} + 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)}{-\frac{4}{3} - \left(-\frac{3}{4}\right)}

Sređujemo brojilac i imenilac razlomka.

A = \frac{\frac{4}{5} - \frac{6}{5}}{-\frac{4}{3} + \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{-16 + 9}{12}} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{7}{12}}

Rešavamo dvojni razlomak kako bismo dobili konačnu vrednost izraza.

A = \frac{2}{5} \cdot \frac{12}{7} = \frac{24}{35}

744