2607.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza A=sin⁡x+2cos⁡xtgx−ctgx, A = \frac{\sin x + 2 \cos x}{\text{tg} x - \text{ctg} x} , ako je tgx2=2. \text{tg} \frac{x}{2} = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formule za univerzalnu trigonometrijsku smenu preko tangensa polovine ugla, t=tgx2, t = \text{tg} \frac{x}{2} , da bismo izrazili sin⁡x \sin x i cos⁡x. \cos x .

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Zamenjujemo datu vrednost t=2 t = 2 u formulu za sin⁡x. \sin x .

sin⁡x=2⋅21+22=41+4=45\sin x = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}

Zamenjujemo datu vrednost t=2 t = 2 u formulu za cos⁡x. \cos x .

cos⁡x=1−221+22=1−41+4=−35\cos x = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}

Računamo vrednosti za tgx \text{tg} x i ctgx \text{ctg} x koristeći dobijene vrednosti sinusa i kosinusa.

tgx=sin⁡xcos⁡x=45−35=−43,ctgx=1tgx=−34\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}, \quad \text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x} = -\frac{3}{4}

Zamenjujemo sve izračunate vrednosti u početni izraz za A. A .

A=45+2⋅(−35)−43−(−34)A = \frac{\frac{4}{5} + 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)}{-\frac{4}{3} - \left(-\frac{3}{4}\right)}

Sređujemo brojilac i imenilac razlomka.

A=45−65−43+34=−25−16+912=−25−712A = \frac{\frac{4}{5} - \frac{6}{5}}{-\frac{4}{3} + \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{-16 + 9}{12}} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{7}{12}}

Rešavamo dvojni razlomak kako bismo dobili konačnu vrednost izraza.

A=25⋅127=2435A = \frac{2}{5} \cdot \frac{12}{7} = \frac{24}{35}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti