2610.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1−2sin⁡x2−cos⁡x1+2sin⁡x2−cos⁡x=sin⁡x2−1sin⁡x2+1\frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}{1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x} = \frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Grupisaćemo članove kako bismo iskoristili trigonometrijske identitete.

(1−cos⁡x)−2sin⁡x2(1−cos⁡x)+2sin⁡x2\frac{(1 - \cos x) - 2 \sin \frac{x}{2}}{(1 - \cos x) + 2 \sin \frac{x}{2}}

Koristimo formulu za polovinu ugla koja glasi 1−cos⁡x=2sin⁡2x2. 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} . Zamenjujemo ovo u izraz.

2sin⁡2x2−2sin⁡x22sin⁡2x2+2sin⁡x2\frac{2 \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2}}

Izvlačimo zajednički faktor 2sin⁡x2 2 \sin \frac{x}{2} u brojiocu i imeniocu.

2sin⁡x2(sin⁡x2−1)2sin⁡x2(sin⁡x2+1)\frac{2 \sin \frac{x}{2} \left(\sin \frac{x}{2} - 1\right)}{2 \sin \frac{x}{2} \left(\sin \frac{x}{2} + 1\right)}

Skraćujemo razlomak sa 2sin⁡x2 2 \sin \frac{x}{2} (uz pretpostavku da je sin⁡x2≠0 \sin \frac{x}{2} \neq 0 ).

sin⁡x2−1sin⁡x2+1\frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1}

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

1−2sin⁡x2−cos⁡x1+2sin⁡x2−cos⁡x=sin⁡x2−1sin⁡x2+1\frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}{1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x} = \frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti