Poluugao: (1 − sin x)/(cos kvadrat − sin kvadrat x/2)

Transformišemo levu stranu identiteta. Prvo, primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$ i formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ na brojilac.

1 - \sin x = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

1 - \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2

Imenilac možemo faktorisati kao razliku kvadrata.

\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right) \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right)

Zamenjujemo dobijene izraze u levu stranu identiteta.

\frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right) \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right)}

Skraćujemo razlomak sa $\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} .$

\frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}

Delimo i brojilac i imenilac sa $\cos \frac{x}{2}$ kako bismo dobili izraz preko tangensa.

\frac{\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} + \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}} = \frac{1 - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg} \frac{x}{2}}

Sada transformišemo desnu stranu identiteta primenom adicione formule za tangens razlike uglova $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .$

\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\pi}{4} \text{tg} \frac{x}{2}}

Zamenjujemo poznatu vrednost $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 .$

\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + 1 \cdot \text{tg} \frac{x}{2}} = \frac{1 - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg} \frac{x}{2}}

Pošto smo pokazali da su i leva i desna strana jednake istom izrazu, identitet je dokazan.

\frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)

Započni učenje

Online časovi

743.d

Beleške