PrethodniSledeći
2599.

743.d

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete: 1−sin⁡xcos⁡2x2−sin⁡2x2=tg(π4−x2) \frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)

REŠENJE ZADATKA

Transformišemo levu stranu identiteta. Prvo, primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet 1=sin⁡2x2+cos⁡2x2 1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} i formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2 \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} na brojilac.

1−sin⁡x=sin⁡2x2+cos⁡2x2−2sin⁡x2cos⁡x21 - \sin x = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

1−sin⁡x=(cos⁡x2−sin⁡x2)21 - \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2

Imenilac možemo faktorisati kao razliku kvadrata.

cos⁡2x2−sin⁡2x2=(cos⁡x2−sin⁡x2)(cos⁡x2+sin⁡x2)\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right) \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right)

Zamenjujemo dobijene izraze u levu stranu identiteta.

1−sin⁡xcos⁡2x2−sin⁡2x2=(cos⁡x2−sin⁡x2)2(cos⁡x2−sin⁡x2)(cos⁡x2+sin⁡x2)\frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right) \left(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right)}

Skraćujemo razlomak sa cos⁡x2−sin⁡x2. \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} .

1−sin⁡xcos⁡2x2−sin⁡2x2=cos⁡x2−sin⁡x2cos⁡x2+sin⁡x2\frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}

Delimo i brojilac i imenilac sa cos⁡x2 \cos \frac{x}{2} kako bismo dobili izraz preko tangensa.

cos⁡x2cos⁡x2−sin⁡x2cos⁡x2cos⁡x2cos⁡x2+sin⁡x2cos⁡x2=1−tgx21+tgx2\frac{\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} + \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}} = \frac{1 - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg} \frac{x}{2}}

Sada transformišemo desnu stranu identiteta primenom adicione formule za tangens razlike uglova tg(α−β)=tgα−tgβ1+tgαtgβ. \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta} .

tg(π4−x2)=tgπ4−tgx21+tgπ4tgx2\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{\text{tg} \frac{\pi}{4} - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\pi}{4} \text{tg} \frac{x}{2}}

Zamenjujemo poznatu vrednost tgπ4=1. \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 .

tg(π4−x2)=1−tgx21+1⋅tgx2=1−tgx21+tgx2\text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + 1 \cdot \text{tg} \frac{x}{2}} = \frac{1 - \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg} \frac{x}{2}}

Pošto smo pokazali da su i leva i desna strana jednake istom izrazu, identitet je dokazan.

1−sin⁡xcos⁡2x2−sin⁡2x2=tg(π4−x2)\frac{1 - \sin x}{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}} = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu