Tangens poluugla: tg kvadrat (π/4 − α) preko sin 2α

Polazimo od formule za tangens polovine ugla. Prema gradivu, važi $\left| \text{tg} \frac{x}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} .$ Kvadriranjem obe strane ove jednakosti dobijamo:

\text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}

Uvodimo smenu tako da ugao $\frac{x}{2}$ odgovara argumentu tangensa na levoj strani traženog identiteta:

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} - \alpha

Množenjem jednačine sa $2$ izražavamo ugao $x :$

x = 2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\pi}{2} - 2\alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz za $x$ u kvadriranu formulu za tangens polovine ugla:

\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}

Koristimo osobinu komplementarnih uglova koja glasi $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi\right) = \sin \varphi .$ Primenom na naš ugao dobijamo:

\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = \sin 2\alpha

Zamenom ovog rezultata u razlomak, dobijamo konačan oblik desne strane čime je identitet uspešno dokazan:

\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}

Započni učenje

Online časovi

743.b

Beleške