2598.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

tg2(π4−α)=1−sin⁡2α1+sin⁡2α\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od formule za tangens polovine ugla. Prema gradivu, važi ∣tgx2∣=1−cos⁡x1+cos⁡x. \left| \text{tg} \frac{x}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} . Kvadriranjem obe strane ove jednakosti dobijamo:

tg2x2=1−cos⁡x1+cos⁡x\text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}

Uvodimo smenu tako da ugao x2 \frac{x}{2} odgovara argumentu tangensa na levoj strani traženog identiteta:

x2=π4−α\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} - \alpha

Množenjem jednačine sa 2 2 izražavamo ugao x: x :

x=2(π4−α)=π2−2αx = 2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\pi}{2} - 2\alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz za x x u kvadriranu formulu za tangens polovine ugla:

tg2(π4−α)=1−cos⁡(π2−2α)1+cos⁡(π2−2α)\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}

Koristimo osobinu komplementarnih uglova koja glasi cos⁡(π2−φ)=sin⁡φ. \cos\left(\frac{\pi}{2} - \varphi\right) = \sin \varphi . Primenom na naš ugao dobijamo:

cos⁡(π2−2α)=sin⁡2α\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = \sin 2\alpha

Zamenom ovog rezultata u razlomak, dobijamo konačan oblik desne strane čime je identitet uspešno dokazan:

tg2(π4−α)=1−sin⁡2α1+sin⁡2α\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti