PrethodniSledeći
2597.

739

TEKST ZADATKA

Odrediti tgα2, \text{tg} \frac{\alpha}{2} , ako je cos⁡2α=732 \cos 2\alpha = \frac{7}{32} i α∈(−π,−3π4). \alpha \in \left(-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili tgα2, \text{tg} \frac{\alpha}{2} , prvo moramo naći vrednost za cos⁡α. \cos \alpha . Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla:

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1

Zamenjujemo poznatu vrednost i izražavamo cos⁡2α: \cos^2 \alpha :

2cos⁡2α−1=732  ⟹  2cos⁡2α=1+732=3932  ⟹  cos⁡2α=39642\cos^2 \alpha - 1 = \frac{7}{32} \implies 2\cos^2 \alpha = 1 + \frac{7}{32} = \frac{39}{32} \implies \cos^2 \alpha = \frac{39}{64}

Korenovanjem dobijamo apsolutnu vrednost kosinusa. Definišimo apsolutnu vrednost za cos⁡α: \cos \alpha :

∣cos⁡α∣={cos⁡α,za cos⁡α≥0−cos⁡α,za cos⁡α<0|\cos \alpha| = \begin{cases} \cos \alpha, & \text{za } \cos \alpha \ge 0 \\ -\cos \alpha, & \text{za } \cos \alpha < 0 \end{cases}

Pošto je dato da α∈(−π,−3π4), \alpha \in \left(-\pi, -\frac{3\pi}{4}\right) , ugao se nalazi u trećem kvadrantu, gde je kosinus negativan. Zato uzimamo negativnu vrednost:

cos⁡α=−3964=−398\cos \alpha = -\sqrt{\frac{39}{64}} = -\frac{\sqrt{39}}{8}

Sada koristimo formulu za tangens polovine ugla:

∣tgα2∣=1−cos⁡α1+cos⁡α\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

Definišimo apsolutnu vrednost za tgα2: \text{tg} \frac{\alpha}{2} :

∣tgα2∣={tgα2,za tgα2≥0−tgα2,za tgα2<0\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Da bismo odredili znak tangensa, nalazimo interval u kom se nalazi ugao α2. \frac{\alpha}{2} . Deljenjem granica intervala za α \alpha sa 2 dobijamo:

α2∈(−π2,−3π8)\frac{\alpha}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{8}\right)

Ugao α2 \frac{\alpha}{2} pripada četvrtom kvadrantu, gde je tangens negativan. Prema tome, oslobađanjem od apsolutne vrednosti dobijamo:

tgα2=−1−cos⁡α1+cos⁡α\text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

Zamenjujemo vrednost cos⁡α=−398 \cos \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8} u formulu:

tgα2=−1−(−398)1+(−398)\text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right)}{1 + \left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right)}}

Sređujemo izraz pod korenom proširivanjem razlomka sa 8:

tgα2=−8+3988−398=−8+398−39\text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{\frac{8 + \sqrt{39}}{8}}{\frac{8 - \sqrt{39}}{8}}} = -\sqrt{\frac{8 + \sqrt{39}}{8 - \sqrt{39}}}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa 8+39: 8 + \sqrt{39} :

tgα2=−(8+39)(8+39)(8−39)(8+39)\text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{(8 + \sqrt{39})(8 + \sqrt{39})}{(8 - \sqrt{39})(8 + \sqrt{39})}}

Primenjujemo razliku kvadrata u imeniocu i sređujemo izraz:

tgα2=−(8+39)264−39=−(8+39)225\text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{(8 + \sqrt{39})^2}{64 - 39}} = -\sqrt{\frac{(8 + \sqrt{39})^2}{25}}

Pošto je 8+39>0, 8 + \sqrt{39} > 0 , koren kvadrata je sam taj izraz. Dobijamo konačan rezultat:

tgα2=−8+395\text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\frac{8 + \sqrt{39}}{5}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu