TEKST ZADATKA
Odrediti sin α , \sin \alpha , sin α , cos α , \cos \alpha , cos α , tg α \text{tg} \alpha tg α i ctg α , \text{ctg} \alpha , ctg α , ako je: tg α 2 = 3 \text{tg} \frac{\alpha}{2} = 3 tg 2 α = 3 ;
REŠENJE ZADATKA
Za rešavanje ovog zadatka najjednostavnije je koristiti formule za izražavanje trigonometrijskih funkcija preko tangensa polovine ugla (univerzalna smena), gde je t = tg α 2 . t = \text{tg} \frac{\alpha}{2} . t = tg 2 α .
sin α = 2 t 1 + t 2 cos α = 1 − t 2 1 + t 2 tg α = 2 t 1 − t 2 ctg α = 1 − t 2 2 t \begin{aligned} \sin \alpha &= \frac{2t}{1 + t^2} \\ \cos \alpha &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \text{tg} \alpha &= \frac{2t}{1 - t^2} \\ \text{ctg} \alpha &= \frac{1 - t^2}{2t} \end{aligned} sin α cos α tg α ctg α = 1 + t 2 2 t = 1 + t 2 1 − t 2 = 1 − t 2 2 t = 2 t 1 − t 2 Prikaži korak 1 Zamenjujemo datu vrednost t = 3 t = 3 t = 3 u formulu za sin α \sin \alpha sin α i računamo vrednost.
sin α = 2 ⋅ 3 1 + 3 2 = 6 1 + 9 = 6 10 = 3 5 \sin \alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} sin α = 1 + 3 2 2 ⋅ 3 = 1 + 9 6 = 10 6 = 5 3 Prikaži korak 2 Zamenjujemo datu vrednost t = 3 t = 3 t = 3 u formulu za cos α \cos \alpha cos α i računamo vrednost.
cos α = 1 − 3 2 1 + 3 2 = 1 − 9 1 + 9 = − 8 10 = − 4 5 \cos \alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} cos α = 1 + 3 2 1 − 3 2 = 1 + 9 1 − 9 = 10 − 8 = − 5 4 Prikaži korak 3 Zamenjujemo datu vrednost t = 3 t = 3 t = 3 u formulu za tg α \text{tg} \alpha tg α i računamo vrednost.
tg α = 2 ⋅ 3 1 − 3 2 = 6 1 − 9 = 6 − 8 = − 3 4 \text{tg} \alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} tg α = 1 − 3 2 2 ⋅ 3 = 1 − 9 6 = − 8 6 = − 4 3 Prikaži korak 4 Zamenjujemo datu vrednost t = 3 t = 3 t = 3 u formulu za ctg α \text{ctg} \alpha ctg α i računamo vrednost.
ctg α = 1 − 3 2 2 ⋅ 3 = 1 − 9 6 = − 8 6 = − 4 3 \text{ctg} \alpha = \frac{1 - 3^2}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 9}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} ctg α = 2 ⋅ 3 1 − 3 2 = 6 1 − 9 = 6 − 8 = − 3 4 Prikaži korak 5