2590.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡α, \sin \alpha , cos⁡α, \cos \alpha , tgα \text{tg} \alpha i ctgα, \text{ctg} \alpha , ako je: ctgα2=−12. \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Kvadriranjem formule za kotangens polovine ugla dobijamo vezu između kotangensa polovine ugla i kosinusa celog ugla:

ctg2α2=1+cos⁡α1−cos⁡α\text{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}

Zamenom vrednosti ctgα2=−12 \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} u formulu:

(−12)2=1+cos⁡α1−cos⁡α\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}

Kvadriranjem leve strane dobijamo:

14=1+cos⁡α1−cos⁡α\frac{1}{4} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}

Množenjem unakrsno dobijamo linearnu jednačinu po cos⁡α: \cos \alpha :

1−cos⁡α=4(1+cos⁡α)1 - \cos \alpha = 4(1 + \cos \alpha)

Oslobađanjem od zagrade:

1−cos⁡α=4+4cos⁡α1 - \cos \alpha = 4 + 4\cos \alpha

Prebacivanjem nepoznatih na jednu stranu:

−5cos⁡α=3-5\cos \alpha = 3

Računamo vrednost za cos⁡α: \cos \alpha :

cos⁡α=−35\cos \alpha = -\frac{3}{5}

Da bismo odredili znak za sin⁡α, \sin \alpha , koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla:

sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Pošto je ctgα2=cos⁡α2sin⁡α2=−12<0, \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = -\frac{1}{2} < 0 , zaključujemo da sin⁡α2 \sin \frac{\alpha}{2} i cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} imaju suprotne znake. Zbog toga je njihov proizvod negativan, pa važi:

sin⁡α<0\sin \alpha < 0

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 i činjenicu da je sinus negativan, izražavamo sin⁡α: \sin \alpha :

sin⁡α=−1−cos⁡2α\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}

Zamenom izračunate vrednosti za cos⁡α: \cos \alpha :

sin⁡α=−1−(−35)2\sin \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2}

Kvadriranjem i oduzimanjem pod korenom:

sin⁡α=−1−925=−1625\sin \alpha = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}}

Korenujemo izraz da bismo dobili sin⁡α: \sin \alpha :

sin⁡α=−45\sin \alpha = -\frac{4}{5}

Sada računamo tgα \text{tg} \alpha kao količnik sinusa i kosinusa:

tgα=sin⁡αcos⁡α\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Zamenom dobijenih vrednosti:

tgα=−45−35\text{tg} \alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}

Skraćivanjem razlomka dobijamo:

tgα=43\text{tg} \alpha = \frac{4}{3}

Na kraju, računamo ctgα \text{ctg} \alpha kao recipročnu vrednost tangensa:

ctgα=1tgα\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha}

Zamenom vrednosti za tangens dobijamo konačan rezultat:

ctgα=34\text{ctg} \alpha = \frac{3}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti