2602. Trigonometrijske funkcije poluugla

Koristićemo univerzalnu trigonometrijsku smenu $t = \text{tg} \frac{\alpha}{2}$ za izražavanje sinusa i kosinusa preko tangensa polovine ugla.

\sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}

Zamenom date vrednosti $t = 2$ računamo vrednost za $\sin \alpha .$

\sin \alpha = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}

Na isti način računamo vrednost za $\cos \alpha .$

\cos \alpha = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz.

\frac{1}{2 + \cos \alpha + \sin \alpha} = \frac{1}{2 + \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{4}{5}}

Sređujemo izraz u imeniocu.

2 - \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}

Računamo konačnu vrednost izraza rešavanjem dvojnog razlomka.

\frac{1}{\frac{11}{5}} = \frac{5}{11}

741