2594.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati da je:

tg15∘+ctg15∘=4\text{tg} 15^\circ + \text{ctg} 15^\circ = 4
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo ugao od 15∘ 15^\circ kao polovinu ugla od 30∘. 30^\circ . Pošto se ugao nalazi u prvom kvadrantu, vrednosti tangensa i kotangensa su pozitivne, pa direktno primenjujemo formule za polovinu ugla.

tg15∘=tg30∘2=1−cos⁡30∘1+cos⁡30∘\text{tg} 15^\circ = \text{tg} \frac{30^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ}}

Zamenjujemo poznatu vrednost za cos⁡30∘=32 \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} i sređujemo dvojni razlomak.

tg15∘=1−321+32=2−322+32=2−32+3\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}

Racionališemo izraz pod korenom množenjem brojioca i imenioca sa 2−3. 2 - \sqrt{3} .

tg15∘=2−32+3⋅2−32−3=(2−3)222−(3)2=(2−3)24−3=(2−3)2\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}

Koren kvadrata nekog izraza jednak je apsolutnoj vrednosti tog izraza.

tg15∘=∣2−3∣\text{tg} 15^\circ = |2 - \sqrt{3}|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣2−3∣. |2 - \sqrt{3}| .

∣2−3∣={2−3,za 2−3≥0−(2−3),za 2−3<0|2 - \sqrt{3}| = \begin{cases} 2 - \sqrt{3}, & \text{za } 2 - \sqrt{3} \ge 0 \\ -(2 - \sqrt{3}), & \text{za } 2 - \sqrt{3} < 0 \end{cases}

Pošto je 2=4, 2 = \sqrt{4} , važi da je 2>3, 2 > \sqrt{3} , pa je izraz pod apsolutnom vrednošću pozitivan.

tg15∘=2−3\text{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}

Na sličan način, primenjujemo formulu za polovinu ugla za kotangens.

ctg15∘=ctg30∘2=1+cos⁡30∘1−cos⁡30∘\text{ctg} 15^\circ = \text{ctg} \frac{30^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{1 - \cos 30^\circ}}

Zamenjujemo vrednost za kosinus i sređujemo izraz.

ctg15∘=1+321−32=2+322−32=2+32−3\text{ctg} 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}}

Racionališemo izraz pod korenom množenjem sa 2+3. 2 + \sqrt{3} .

ctg15∘=2+32−3⋅2+32+3=(2+3)222−(3)2=(2+3)24−3=(2+3)2\text{ctg} 15^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}} = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2}

Koren kvadrata jednak je apsolutnoj vrednosti.

ctg15∘=∣2+3∣\text{ctg} 15^\circ = |2 + \sqrt{3}|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza ∣2+3∣. |2 + \sqrt{3}| .

∣2+3∣={2+3,za 2+3≥0−(2+3),za 2+3<0|2 + \sqrt{3}| = \begin{cases} 2 + \sqrt{3}, & \text{za } 2 + \sqrt{3} \ge 0 \\ -(2 + \sqrt{3}), & \text{za } 2 + \sqrt{3} < 0 \end{cases}

Zbir dva pozitivna broja je uvek pozitivan, pa apsolutna vrednost ostaje nepromenjena.

ctg15∘=2+3\text{ctg} 15^\circ = 2 + \sqrt{3}

Sada sabiramo dobijene vrednosti za tangens i kotangens kako bismo dokazali početnu jednakost.

tg15∘+ctg15∘=(2−3)+(2+3)\text{tg} 15^\circ + \text{ctg} 15^\circ = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})

Skraćujemo suprotne vrednosti i dobijamo konačan rezultat, čime je dokaz završen.

tg15∘+ctg15∘=4\text{tg} 15^\circ + \text{ctg} 15^\circ = 4

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti