Tangens poluugla: dokaži da je tg 15° + ctg 15° = 4

Zapisujemo ugao od $15^\circ$ kao polovinu ugla od $30^\circ .$ Pošto se ugao nalazi u prvom kvadrantu, vrednosti tangensa i kotangensa su pozitivne, pa direktno primenjujemo formule za polovinu ugla.

\text{tg} 15^\circ = \text{tg} \frac{30^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{1 + \cos 30^\circ}}

Zamenjujemo poznatu vrednost za $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i sređujemo dvojni razlomak.

\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}

Racionališemo izraz pod korenom množenjem brojioca i imenioca sa $2 - \sqrt{3} .$

\text{tg} 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}

Koren kvadrata nekog izraza jednak je apsolutnoj vrednosti tog izraza.

\text{tg} 15^\circ = |2 - \sqrt{3}|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $|2 - \sqrt{3}| .$

|2 - \sqrt{3}| = \begin{cases} 2 - \sqrt{3}, & \text{za } 2 - \sqrt{3} \ge 0 \\ -(2 - \sqrt{3}), & \text{za } 2 - \sqrt{3} < 0 \end{cases}

Pošto je $2 = \sqrt{4} ,$ važi da je $2 > \sqrt{3} ,$ pa je izraz pod apsolutnom vrednošću pozitivan.

\text{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}

Na sličan način, primenjujemo formulu za polovinu ugla za kotangens.

\text{ctg} 15^\circ = \text{ctg} \frac{30^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{1 - \cos 30^\circ}}

Zamenjujemo vrednost za kosinus i sređujemo izraz.

\text{ctg} 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}}

Racionališemo izraz pod korenom množenjem sa $2 + \sqrt{3} .$

\text{ctg} 15^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}} = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2}

Koren kvadrata jednak je apsolutnoj vrednosti.

\text{ctg} 15^\circ = |2 + \sqrt{3}|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $|2 + \sqrt{3}| .$

|2 + \sqrt{3}| = \begin{cases} 2 + \sqrt{3}, & \text{za } 2 + \sqrt{3} \ge 0 \\ -(2 + \sqrt{3}), & \text{za } 2 + \sqrt{3} < 0 \end{cases}

Zbir dva pozitivna broja je uvek pozitivan, pa apsolutna vrednost ostaje nepromenjena.

\text{ctg} 15^\circ = 2 + \sqrt{3}

Sada sabiramo dobijene vrednosti za tangens i kotangens kako bismo dokazali početnu jednakost.

\text{tg} 15^\circ + \text{ctg} 15^\circ = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})

Skraćujemo suprotne vrednosti i dobijamo konačan rezultat, čime je dokaz završen.

\text{tg} 15^\circ + \text{ctg} 15^\circ = 4

Započni učenje

Online časovi

742.a

Beleške