2595.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Izračunati bez upotrebe računskih pomagala: cos⁡4π8+13cos⁡2π4+cos⁡43π8+cos⁡45π8+cos⁡47π8 \cos^4 \frac{\pi}{8} + 13 \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8} ;

REŠENJE ZADATKA

Koristimo osobine trigonometrijskih funkcija za svođenje uglova na prvi kvadrant.

cos⁡7π8=cos⁡(π−π8)=−cos⁡π8cos⁡5π8=cos⁡(π−3π8)=−cos⁡3π8\begin{aligned} \cos \frac{7\pi}{8} &= \cos\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\cos \frac{\pi}{8} \\ \cos \frac{5\pi}{8} &= \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{8}\right) = -\cos \frac{3\pi}{8} \end{aligned}

Zamenjujemo u početni izraz. Pošto su funkcije stepenovane na četvrti stepen, znak minus nestaje.

cos⁡47π8=cos⁡4π8cos⁡45π8=cos⁡43π8\begin{aligned} \cos^4 \frac{7\pi}{8} &= \cos^4 \frac{\pi}{8} \\ \cos^4 \frac{5\pi}{8} &= \cos^4 \frac{3\pi}{8} \end{aligned}

Računamo vrednost za cos⁡2π4. \cos^2 \frac{\pi}{4} .

cos⁡π4=22  ⟹  cos⁡2π4=12\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}

Zamenjujemo sve vrednosti u početni izraz i grupišemo iste članove.

cos⁡4π8+13⋅12+cos⁡43π8+cos⁡43π8+cos⁡4π8=2cos⁡4π8+2cos⁡43π8+132\cos^4 \frac{\pi}{8} + 13 \cdot \frac{1}{2} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{\pi}{8} = 2 \cos^4 \frac{\pi}{8} + 2 \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \frac{13}{2}

Koristimo formulu za polovinu ugla cos⁡2α2=1+cos⁡α2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} za izračunavanje cos⁡2π8 \cos^2 \frac{\pi}{8} i cos⁡23π8. \cos^2 \frac{3\pi}{8} .

cos⁡2π8=1+cos⁡π42=1+222=2+24cos⁡23π8=1+cos⁡3π42=1−222=2−24\begin{aligned} \cos^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \\ \cos^2 \frac{3\pi}{8} &= \frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Kvadriramo dobijene vrednosti kako bismo dobili četvrti stepen.

cos⁡4π8=(2+24)2=4+42+216=6+4216=3+228cos⁡43π8=(2−24)2=4−42+216=6−4216=3−228\begin{aligned} \cos^4 \frac{\pi}{8} &= \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \\ \cos^4 \frac{3\pi}{8} &= \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u izraz iz koraka 4.

2(3+228)+2(3−228)+1322 \left( \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \right) + 2 \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} \right) + \frac{13}{2}

Sređujemo izraz i dolazimo do konačnog rezultata.

3+224+3−224+132=64+132=32+132=162=8\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4} + \frac{13}{2} = \frac{6}{4} + \frac{13}{2} = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti