2595. Trigonometrijske funkcije poluugla

Koristimo osobine trigonometrijskih funkcija za svođenje uglova na prvi kvadrant.

\begin{aligned} \cos \frac{7\pi}{8} &= \cos\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\cos \frac{\pi}{8} \\ \cos \frac{5\pi}{8} &= \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{8}\right) = -\cos \frac{3\pi}{8} \end{aligned}

Zamenjujemo u početni izraz. Pošto su funkcije stepenovane na četvrti stepen, znak minus nestaje.

\begin{aligned} \cos^4 \frac{7\pi}{8} &= \cos^4 \frac{\pi}{8} \\ \cos^4 \frac{5\pi}{8} &= \cos^4 \frac{3\pi}{8} \end{aligned}

Računamo vrednost za $\cos^2 \frac{\pi}{4} .$

\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}

Zamenjujemo sve vrednosti u početni izraz i grupišemo iste članove.

\cos^4 \frac{\pi}{8} + 13 \cdot \frac{1}{2} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{\pi}{8} = 2 \cos^4 \frac{\pi}{8} + 2 \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \frac{13}{2}

Koristimo formulu za polovinu ugla $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ za izračunavanje $\cos^2 \frac{\pi}{8}$ i $\cos^2 \frac{3\pi}{8} .$

\begin{aligned} \cos^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \\ \cos^2 \frac{3\pi}{8} &= \frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Kvadriramo dobijene vrednosti kako bismo dobili četvrti stepen.

\begin{aligned} \cos^4 \frac{\pi}{8} &= \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \\ \cos^4 \frac{3\pi}{8} &= \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u izraz iz koraka 4.

2 \left( \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \right) + 2 \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} \right) + \frac{13}{2}

Sređujemo izraz i dolazimo do konačnog rezultata.

\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{4} + \frac{13}{2} = \frac{6}{4} + \frac{13}{2} = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8

736.a