2603.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1+sin⁡α1−sin⁡α=∣tg(π4+α2)∣\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} = \left| \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) \right|
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od desne strane identiteta i koristimo formulu za tangens polovine ugla:

∣tgx2∣=1−cos⁡x1+cos⁡x\left| \text{tg} \frac{x}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

Uvodimo smenu x=π2+α, x = \frac{\pi}{2} + \alpha , pa je x2=π4+α2. \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} .

Primenjujemo formulu na naš izraz:

∣tg(π4+α2)∣=1−cos⁡(π2+α)1+cos⁡(π2+α)\left| \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) \right| = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}}

Koristimo trigonometrijski identitet za svođenje na prvi kvadrant:

cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha

Zamenjujemo dobijeni izraz u koren:

1−(−sin⁡α)1+(−sin⁡α)=1+sin⁡α1−sin⁡α\sqrt{\frac{1 - (-\sin \alpha)}{1 + (-\sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}}

Dobili smo levu stranu početnog identiteta, čime je dokaz završen.

1+sin⁡α1−sin⁡α=∣tg(π4+α2)∣\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} = \left| \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) \right|

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti