2592.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Izračunati bez upotrebe računskih pomagala:

sin⁡4π8+sin⁡43π8+sin⁡45π8+sin⁡47π8\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} + \sin^4 \frac{5\pi}{8} + \sin^4 \frac{7\pi}{8}
REŠENJE ZADATKA

Koristeći osobinu suplementarnih uglova sin⁡(π−x)=sin⁡x, \sin(\pi - x) = \sin x , možemo uprostiti poslednja dva člana u izrazu:

sin⁡5π8=sin⁡(π−3π8)=sin⁡3π8sin⁡7π8=sin⁡(π−π8)=sin⁡π8\begin{aligned} \sin\frac{5\pi}{8} &= \sin\left(\pi - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\frac{3\pi}{8} \\ \sin\frac{7\pi}{8} &= \sin\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{\pi}{8} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u početni izraz, dobijamo uprošćen oblik:

2sin⁡4π8+2sin⁡43π82\sin^4 \frac{\pi}{8} + 2\sin^4 \frac{3\pi}{8}

Polazeći od formule za polovinu ugla sin⁡2α2=1−cos⁡α2, \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} , primenjujemo je na uglove π8 \frac{\pi}{8} i 3π8: \frac{3\pi}{8} :

sin⁡2π8=1−cos⁡π42sin⁡23π8=1−cos⁡3π42\begin{aligned} \sin^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2} \\ \sin^2 \frac{3\pi}{8} &= \frac{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}{2} \end{aligned}

Zamenjujemo poznate vrednosti kosinusa cos⁡π4=22 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} i cos⁡3π4=−22: \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} :

sin⁡2π8=1−222=2−24sin⁡23π8=1−(−22)2=2+24\begin{aligned} \sin^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \\ \sin^2 \frac{3\pi}{8} &= \frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Sada kvadriramo dobijene izraze kako bismo dobili četvrti stepen sinusa:

sin⁡4π8=(2−24)2=4−42+216=6−4216=3−228sin⁡43π8=(2+24)2=4+42+216=6+4216=3+228\begin{aligned} \sin^4 \frac{\pi}{8} &= \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} \\ \sin^4 \frac{3\pi}{8} &= \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \end{aligned}

Vraćamo ove vrednosti u uprošćeni početni izraz:

2(3−228+3+228)2 \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \right)

Sabiramo razlomke u zagradi i računamo konačan rezultat:

2⋅3−22+3+228=2⋅68=2⋅34=322 \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{8} = 2 \cdot \frac{6}{8} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti