Poluugao: zbir četvrtih stepena sinusa od π/8 do 7π/8

Koristeći osobinu suplementarnih uglova $\sin(\pi - x) = \sin x ,$ možemo uprostiti poslednja dva člana u izrazu:

\begin{aligned} \sin\frac{5\pi}{8} &= \sin\left(\pi - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\frac{3\pi}{8} \\ \sin\frac{7\pi}{8} &= \sin\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{\pi}{8} \end{aligned}

Zamenom ovih vrednosti u početni izraz, dobijamo uprošćen oblik:

2\sin^4 \frac{\pi}{8} + 2\sin^4 \frac{3\pi}{8}

Polazeći od formule za polovinu ugla $\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} ,$ primenjujemo je na uglove $\frac{\pi}{8}$ i $\frac{3\pi}{8} :$

\begin{aligned} \sin^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2} \\ \sin^2 \frac{3\pi}{8} &= \frac{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}{2} \end{aligned}

Zamenjujemo poznate vrednosti kosinusa $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} :$

\begin{aligned} \sin^2 \frac{\pi}{8} &= \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \\ \sin^2 \frac{3\pi}{8} &= \frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Sada kvadriramo dobijene izraze kako bismo dobili četvrti stepen sinusa:

\begin{aligned} \sin^4 \frac{\pi}{8} &= \left( \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} \\ \sin^4 \frac{3\pi}{8} &= \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{16} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{16} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \end{aligned}

Vraćamo ove vrednosti u uprošćeni početni izraz:

2 \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} \right)

Sabiramo razlomke u zagradi i računamo konačan rezultat:

2 \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{8} = 2 \cdot \frac{6}{8} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

Započni učenje

Online časovi

736.b

Beleške