PrethodniSledeći
2593.

746

TEKST ZADATKA

Dokazati da je sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=4cos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ2, \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} , ako je α+β+γ=π. \alpha + \beta + \gamma = \pi .

REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti i primenjujemo formulu za zbir sinusa na prva dva člana: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2. \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} .

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

Iz uslova zadatka α+β+γ=π \alpha + \beta + \gamma = \pi sledi da je γ=π−(α+β). \gamma = \pi - (\alpha + \beta) . Zbog toga je sin⁡γ=sin⁡(π−(α+β))=sin⁡(α+β). \sin \gamma = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta) .

sin⁡γ=sin⁡(α+β)\sin \gamma = \sin(\alpha + \beta)

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na sin⁡(α+β) \sin(\alpha + \beta) kako bismo dobili izraz sa polovinama uglova.

sin⁡(α+β)=2sin⁡α+β2cos⁡α+β2\sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}

Zamenjujemo dobijene izraze u početni zbir na levoj strani.

sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2+2sin⁡α+β2cos⁡α+β2\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}

Izvlačimo zajednički faktor 2sin⁡α+β2 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} ispred zagrade.

2sin⁡α+β2(cos⁡α−β2+cos⁡α+β2)2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right)

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa na izraz u zagradi: cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2. \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} .

cos⁡α−β2+cos⁡α+β2=2cos⁡α−β2+α+β22cos⁡α−β2−α+β22\cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = 2 \cos \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} \cos \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}}{2}

Sređujemo razlomke unutar kosinusa i koristimo svojstvo parnosti kosinusa cos⁡(−x)=cos⁡x. \cos(-x) = \cos x .

2cos⁡α2cos⁡(−β2)=2cos⁡α2cos⁡β22 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}

Vraćamo dobijeni izraz nazad u jednačinu.

2sin⁡α+β2(2cos⁡α2cos⁡β2)=4sin⁡α+β2cos⁡α2cos⁡β22 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \left( 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \right) = 4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}

Koristimo početni uslov α+β+γ=π \alpha + \beta + \gamma = \pi da izrazimo α+β2 \frac{\alpha + \beta}{2} preko γ. \gamma .

α+β2=π−γ2=π2−γ2\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}

Primenjujemo redukcionu formulu sin⁡(π2−x)=cos⁡x. \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x .

sin⁡α+β2=sin⁡(π2−γ2)=cos⁡γ2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} \right) = \cos \frac{\gamma}{2}

Zamenjujemo ovo u izraz, čime dobijamo desnu stranu jednakosti i završavamo dokaz.

4cos⁡γ2cos⁡α2cos⁡β2=4cos⁡α2cos⁡β2cos⁡γ24 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu