2606.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Odrediti cos⁡α2, \cos \frac{\alpha}{2} , ako je sin⁡α=45 \sin \alpha = \frac{4}{5} i α∈(−3π2,−π). \alpha \in \left(-\frac{3\pi}{2}, -\pi\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo znak za cos⁡α. \cos \alpha . Pošto α∈(−3π2,−π), \alpha \in \left(-\frac{3\pi}{2}, -\pi\right) , ugao pripada drugom kvadrantu, gde je kosinus negativan.

cos⁡α<0\cos \alpha < 0

Računamo vrednost cos⁡α \cos \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenjujemo poznatu vrednost za sinus i rešavamo po cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

cos⁡2α=1−(45)2=1−1625=925\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

S obzirom na to da je cos⁡α<0, \cos \alpha < 0 , uzimamo negativan koren.

cos⁡α=−35\cos \alpha = -\frac{3}{5}

Sada određujemo znak za cos⁡α2. \cos \frac{\alpha}{2} . Deljenjem zadatog intervala za α \alpha sa 2, dobijamo interval za polovinu ugla.

−3π4<α2<−π2-\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < -\frac{\pi}{2}

Ovaj interval se nalazi u trećem kvadrantu, gde je kosinus takođe negativan.

cos⁡α2<0\cos \frac{\alpha}{2} < 0

Koristimo formulu za polovinu ugla kosinusa.

∣cos⁡α2∣=1+cos⁡α2\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}

Definišemo apsolutnu vrednost izraza.

∣cos⁡α2∣={cos⁡α2,za cos⁡α2≥0−cos⁡α2,za cos⁡α2<0\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Pošto je cos⁡α2<0, \cos \frac{\alpha}{2} < 0 , oslobađamo se apsolutne vrednosti sa znakom minus i izražavamo traženu vrednost.

−cos⁡α2=1+cos⁡α2  ⟹  cos⁡α2=−1+cos⁡α2-\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \implies \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}

Zamenjujemo izračunatu vrednost cos⁡α=−35 \cos \alpha = -\frac{3}{5} u formulu.

cos⁡α2=−1−352\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}}

Računamo izraz pod korenom.

cos⁡α2=−252=−15\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}}

Racionališemo imenilac kako bismo dobili konačan rezultat.

cos⁡α2=−15⋅55=−55\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti