2606. Trigonometrijske funkcije poluugla

Prvo određujemo znak za $\cos \alpha .$ Pošto $\alpha \in \left(-\frac{3\pi}{2}, -\pi\right) ,$ ugao pripada drugom kvadrantu, gde je kosinus negativan.

\cos \alpha < 0

Računamo vrednost $\cos \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenjujemo poznatu vrednost za sinus i rešavamo po $\cos^2 \alpha .$

\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

S obzirom na to da je $\cos \alpha < 0 ,$ uzimamo negativan koren.

\cos \alpha = -\frac{3}{5}

Sada određujemo znak za $\cos \frac{\alpha}{2} .$ Deljenjem zadatog intervala za $\alpha$ sa 2, dobijamo interval za polovinu ugla.

-\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < -\frac{\pi}{2}

Ovaj interval se nalazi u trećem kvadrantu, gde je kosinus takođe negativan.

\cos \frac{\alpha}{2} < 0

Koristimo formulu za polovinu ugla kosinusa.

\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}

Definišemo apsolutnu vrednost izraza.

\left| \cos \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\cos \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \cos \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Pošto je $\cos \frac{\alpha}{2} < 0 ,$ oslobađamo se apsolutne vrednosti sa znakom minus i izražavamo traženu vrednost.

-\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \implies \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}

Zamenjujemo izračunatu vrednost $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ u formulu.

\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}}

Računamo izraz pod korenom.

\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{5}}

Racionališemo imenilac kako bismo dobili konačan rezultat.

\cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}

738