2609.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Ako je cos⁡α=ab+c, \cos \alpha = \frac{a}{b+c} , cos⁡β=ba+c, \cos \beta = \frac{b}{a+c} , cos⁡γ=ca+b, \cos \gamma = \frac{c}{a+b} , dokazati da je tg2α2+tg2β2+tg2γ2=1. \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2} + \text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} = 1 .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za tangens polovine ugla na kvadrat:

tg2x2=1−cos⁡x1+cos⁡x\text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}

Primenjujemo formulu na ugao α \alpha i zamenjujemo datu vrednost za cos⁡α: \cos \alpha :

tg2α2=1−ab+c1+ab+c=b+c−ab+cb+c+ab+c=b+c−aa+b+c\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{a}{b+c}}{1 + \frac{a}{b+c}} = \frac{\frac{b+c-a}{b+c}}{\frac{b+c+a}{b+c}} = \frac{b+c-a}{a+b+c}

Na isti način računamo vrednost za ugao β: \beta :

tg2β2=1−ba+c1+ba+c=a+c−ba+ca+c+ba+c=a+c−ba+b+c\text{tg}^2 \frac{\beta}{2} = \frac{1 - \frac{b}{a+c}}{1 + \frac{b}{a+c}} = \frac{\frac{a+c-b}{a+c}}{\frac{a+c+b}{a+c}} = \frac{a+c-b}{a+b+c}

Zatim računamo vrednost za ugao γ: \gamma :

tg2γ2=1−ca+b1+ca+b=a+b−ca+ba+b+ca+b=a+b−ca+b+c\text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} = \frac{1 - \frac{c}{a+b}}{1 + \frac{c}{a+b}} = \frac{\frac{a+b-c}{a+b}}{\frac{a+b+c}{a+b}} = \frac{a+b-c}{a+b+c}

Sada sabiramo dobijena tri izraza:

tg2α2+tg2β2+tg2γ2=b+c−aa+b+c+a+c−ba+b+c+a+b−ca+b+c\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2} + \text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} = \frac{b+c-a}{a+b+c} + \frac{a+c-b}{a+b+c} + \frac{a+b-c}{a+b+c}

Pošto svi razlomci imaju isti imenilac, sabiramo njihove brojioce:

b+c−a+a+c−b+a+b−ca+b+c\frac{b+c-a + a+c-b + a+b-c}{a+b+c}

Sređivanjem brojioca dobijamo:

a+b+ca+b+c=1\frac{a+b+c}{a+b+c} = 1

Ovim je dokaz završen.

tg2α2+tg2β2+tg2γ2=1\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} + \text{tg}^2 \frac{\beta}{2} + \text{tg}^2 \frac{\gamma}{2} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti