2850. Trigonometrijske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana kada su imenioci različiti od nule, odnosno kada je $\cos x \neq 0$ i $\cos 2x \neq 0 .$

\cos x \neq 0 \quad \text{i} \quad \cos 2x \neq 0

Zapišimo funkcije tangens preko sinusa i kosinusa:

3 \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 4 \cos^2 x

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ na dobijenu jednačinu:

3 \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 4 \cos^2 x

Skratimo $\cos x$ (što smemo jer je $\cos x \neq 0$ ) i pomnožimo brojioc:

\frac{6 \sin^2 x}{\cos 2x} = 4 \cos^2 x

Pomnožimo obe strane jednačine sa $\cos 2x$ (uz uslov $\cos 2x \neq 0$ ):

6 \sin^2 x = 4 \cos^2 x \cos 2x

Podelimo jednačinu sa 2:

3 \sin^2 x = 2 \cos^2 x \cos 2x

Iskoristimo formule za polovinu ugla da izrazimo $\sin^2 x$ i $\cos^2 x$ preko $\cos 2x :$

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Zamenimo ove izraze u jednačinu:

3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} \cos 2x

Pomnožimo jednačinu sa 2 i sredimo izraze:

3 (1 - \cos 2x) = 2 (1 + \cos 2x) \cos 2x

Oslobodimo se zagrada:

3 - 3 \cos 2x = 2 \cos 2x + 2 \cos^2 2x

Prebacimo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $\cos 2x :$

2 \cos^2 2x + 5 \cos 2x - 3 = 0

Uvedimo smenu $t = \cos 2x ,$ pri čemu važi $t \in [-1, 1] :$

2t^2 + 5t - 3 = 0

Rešimo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}

Izračunajmo vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-12}{4} = -3

Pošto mora da važi $t \in [-1, 1] ,$ rešenje $t_2 = -3$ odbacujemo. Ostaje nam samo:

\cos 2x = \frac{1}{2}

Rešimo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Znamo da je $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} :$

2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Podelimo jednačinu sa 2 da bismo dobili konačno rešenje za $x :$

x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Proverimo uslove definisanosti. Za $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$ važi $\cos 2x = \frac{1}{2} \neq 0$ i $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 ,$ pa su uslovi ispunjeni.

912