2850.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 902-916): 3 tg x⋅tg 2x=4cos⁡2x. 3 \text{ tg } x \cdot \text{tg } 2x = 4 \cos^2 x .

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana kada su imenioci različiti od nule, odnosno kada je cos⁡x≠0 \cos x \neq 0 i cos⁡2x≠0. \cos 2x \neq 0 .

cos⁡x≠0icos⁡2x≠0\cos x \neq 0 \quad \text{i} \quad \cos 2x \neq 0

Zapišimo funkcije tangens preko sinusa i kosinusa:

3sin⁡xcos⁡x⋅sin⁡2xcos⁡2x=4cos⁡2x3 \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 4 \cos^2 x

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x \sin 2x = 2 \sin x \cos x na dobijenu jednačinu:

3sin⁡xcos⁡x⋅2sin⁡xcos⁡xcos⁡2x=4cos⁡2x3 \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{2 \sin x \cos x}{\cos 2x} = 4 \cos^2 x

Skratimo cos⁡x \cos x (što smemo jer je cos⁡x≠0 \cos x \neq 0 ) i pomnožimo brojioc:

6sin⁡2xcos⁡2x=4cos⁡2x\frac{6 \sin^2 x}{\cos 2x} = 4 \cos^2 x

Pomnožimo obe strane jednačine sa cos⁡2x \cos 2x (uz uslov cos⁡2x≠0 \cos 2x \neq 0 ):

6sin⁡2x=4cos⁡2xcos⁡2x6 \sin^2 x = 4 \cos^2 x \cos 2x

Podelimo jednačinu sa 2:

3sin⁡2x=2cos⁡2xcos⁡2x3 \sin^2 x = 2 \cos^2 x \cos 2x

Iskoristimo formule za polovinu ugla da izrazimo sin⁡2x \sin^2 x i cos⁡2x \cos^2 x preko cos⁡2x: \cos 2x :

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Zamenimo ove izraze u jednačinu:

3⋅1−cos⁡2x2=2⋅1+cos⁡2x2cos⁡2x3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} \cos 2x

Pomnožimo jednačinu sa 2 i sredimo izraze:

3(1−cos⁡2x)=2(1+cos⁡2x)cos⁡2x3 (1 - \cos 2x) = 2 (1 + \cos 2x) \cos 2x

Oslobodimo se zagrada:

3−3cos⁡2x=2cos⁡2x+2cos⁡22x3 - 3 \cos 2x = 2 \cos 2x + 2 \cos^2 2x

Prebacimo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po cos⁡2x: \cos 2x :

2cos⁡22x+5cos⁡2x−3=02 \cos^2 2x + 5 \cos 2x - 3 = 0

Uvedimo smenu t=cos⁡2x, t = \cos 2x , pri čemu važi t∈[−1,1]: t \in [-1, 1] :

2t2+5t−3=02t^2 + 5t - 3 = 0

Rešimo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−5±52−4⋅2⋅(−3)2⋅2=−5±25+244=−5±74t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}

Izračunajmo vrednosti za t: t :

t1=24=12,t2=−124=−3t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-12}{4} = -3

Pošto mora da važi t∈[−1,1], t \in [-1, 1] , rešenje t2=−3 t_2 = -3 odbacujemo. Ostaje nam samo:

cos⁡2x=12\cos 2x = \frac{1}{2}

Rešimo osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

2x=±arccos⁡(12)+2kπ,k∈Z2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Znamo da je arccos⁡(12)=π3: \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} :

2x=±π3+2kπ,k∈Z2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Podelimo jednačinu sa 2 da bismo dobili konačno rešenje za x: x :

x=±π6+kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Proverimo uslove definisanosti. Za x=±π6+kπ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi važi cos⁡2x=12≠0 \cos 2x = \frac{1}{2} \neq 0 i cos⁡x=±32≠0, \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 , pa su uslovi ispunjeni.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti