2851. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ na drugi sabirak:

4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \left( 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right) = 2 \sin x

Primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$ na treći sabirak:

\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu:

2 \sin^2 x + 2 \sin x + 1 - 2 \sin^2 x = \sqrt{3} + 1

Potiremo suprotne članove $2 \sin^2 x$ i $-2 \sin^2 x :$

2 \sin x + 1 = \sqrt{3} + 1

Oduzimamo $1$ sa obe strane jednačine:

2 \sin x = \sqrt{3}

Delimo jednačinu sa $2 :$

\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Opšte rešenje je:

x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Pošto je $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} ,$ dobijamo:

x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Ovo rešenje se može razložiti na dva posebna slučaja zavisno od parnosti broja $n$ (za $n = 2k$ i $n = 2k+1$ ):

x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad x = -\frac{\pi}{3} + (2k+1)\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

2851.Trigonometrijske jednačine