2849.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 902-916): sin⁡3xsin⁡x+cos⁡3xcos⁡x=52+cos⁡4x. \frac{\sin 3x}{\sin x} + \frac{\cos 3x}{\cos x} = \frac{5}{2} + \cos 4x .

REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti domen jednačine. Izrazi u imeniocima ne smeju biti jednaki nuli, pa mora važiti:

sin⁡x≠0icos⁡x≠0\sin x \neq 0 \quad \text{i} \quad \cos x \neq 0

Ova dva uslova se mogu objediniti koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x: \sin 2x = 2 \sin x \cos x :

sin⁡2x≠0  ⟹  2x≠kπ  ⟹  x≠kπ2,k∈Z\sin 2x \neq 0 \implies 2x \neq k\pi \implies x \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Svedimo levu stranu jednačine na zajednički imenilac:

sin⁡3xcos⁡x+cos⁡3xsin⁡xsin⁡xcos⁡x=52+cos⁡4x\frac{\sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x}{\sin x \cos x} = \frac{5}{2} + \cos 4x

Primenimo adicionu formulu za sinus zbira sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta na brojilac:

sin⁡(3x+x)sin⁡xcos⁡x=52+cos⁡4x\frac{\sin(3x + x)}{\sin x \cos x} = \frac{5}{2} + \cos 4x

Brojilac postaje sin⁡4x, \sin 4x , a imenilac možemo zapisati kao 12sin⁡2x: \frac{1}{2} \sin 2x :

sin⁡4x12sin⁡2x=52+cos⁡4x\frac{\sin 4x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{5}{2} + \cos 4x

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla na brojilac sin⁡4x=2sin⁡2xcos⁡2x: \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x :

2sin⁡2xcos⁡2x12sin⁡2x=52+cos⁡4x\frac{2 \sin 2x \cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{5}{2} + \cos 4x

Pošto smo utvrdili da je sin⁡2x≠0, \sin 2x \neq 0 , možemo skratiti razlomak sa sin⁡2x: \sin 2x :

4cos⁡2x=52+cos⁡4x4 \cos 2x = \frac{5}{2} + \cos 4x

Izrazimo cos⁡4x \cos 4x preko cos⁡2x \cos 2x koristeći formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡4x=2cos⁡22x−1: \cos 4x = 2 \cos^2 2x - 1 :

4cos⁡2x=52+2cos⁡22x−14 \cos 2x = \frac{5}{2} + 2 \cos^2 2x - 1

Sredimo jednačinu tako što ćemo sve članove prebaciti na jednu stranu:

2cos⁡22x−4cos⁡2x+32=02 \cos^2 2x - 4 \cos 2x + \frac{3}{2} = 0

Pomnožimo jednačinu sa 2 da bismo se oslobodili razlomka:

4cos⁡22x−8cos⁡2x+3=04 \cos^2 2x - 8 \cos 2x + 3 = 0

Uvedimo smenu t=cos⁡2x: t = \cos 2x :

4t2−8t+3=04t^2 - 8t + 3 = 0

Rešimo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t1,2=8±(−8)2−4⋅4⋅32⋅4=8±64−488=8±48t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=128=32,t2=48=12t_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Vratimo smenu. Za prvo rešenje imamo:

cos⁡2x=32\cos 2x = \frac{3}{2}

Ova jednačina nema rešenja jer vrednost kosinusa mora biti u intervalu [−1,1]. [-1, 1] .

Za drugo rešenje imamo:

cos⁡2x=12\cos 2x = \frac{1}{2}

Rešimo ovu osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

2x=±π3+2kπ,k∈Z2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Podelimo jednačinu sa 2 da bismo dobili x: x :

x=±π6+kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslov domena x≠kπ2. x \neq \frac{k\pi}{2} . Pošto se rešenja ne poklapaju sa zabranjenim vrednostima, ona su konačna.

x=±π6+kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti