2837. Trigonometrijske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi logaritamska funkcija bila definisana, njen argument mora biti strogo pozitivan. Zato mora važiti:

\sin x > 0

Pored toga, poznato je da je kodomen sinusne funkcije interval $[-1, 1] :$

-1 \le \sin x \le 1

Presekom ova dva uslova dobijamo da vrednost $\sin x$ mora biti u intervalu:

\sin x \in (0, 1]

Uvedimo smenu $t = \sin x ,$ pri čemu je $t \in (0, 1] .$ Polazna jednačina se svodi na:

t = \lg t

Posmatrajmo levu stranu dobijene jednačine. S obzirom na domen za $t ,$ važi:

t > 0

Sada posmatrajmo desnu stranu jednačine. Za vrednosti $t \in (0, 1] ,$ logaritam je uvek manji ili jednak nuli (jer je $\lg 1 = 0 ,$ a za $t < 1$ je $\lg t < 0$ ):

\lg t \le 0

Pošto je leva strana jednačine uvek pozitivna ( $t > 0$ ), a desna strana nepozitivna ( $\lg t \le 0$ ), one nikada ne mogu biti jednake. Zbog toga jednačina $t = \lg t$ nema rešenja.

Zaključujemo da ni polazna jednačina $\sin x = \lg \sin x$ nema rešenja.

901