Period funkcije sin kvadrat x cos x

Transformisaćemo dati izraz koristeći trigonometrijske identitete kako bismo ga sveli na zbir funkcija čije periode lako možemo odrediti. Prvo koristimo formulu za polovinu ugla: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} .$

Zamenjujemo ovo u početnu funkciju.

f(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \cos x = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \cos(2x) \cos x

Sada koristimo formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] .$

Primenjujemo formulu na izraz $\cos(2x) \cos x .$

\cos(2x) \cos x = \frac{1}{2}[\cos(2x + x) + \cos(2x - x)] = \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos x]

Vraćamo dobijeni izraz u funkciju $f(x) .$

f(x) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos x] \right)

Sređujemo izraz.

f(x) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{4} \cos(3x) - \frac{1}{4} \cos x = \frac{1}{4} \cos x - \frac{1}{4} \cos(3x)

Funkcija je sada izražena kao zbir dve kosinusne funkcije. Period funkcije $\cos(kx)$ se računa po formuli $T = \frac{2\pi}{k} .$

Računamo periode pojedinačnih sabiraka.

T_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{3}

Osnovni period funkcije $f(x)$ je najmanji zajednički sadržalac (NZS) perioda $T_1$ i $T_2 .$

T = \text{NZS}\left(2\pi, \frac{2\pi}{3}\right)

Pošto je $2\pi$ celobrojni umnožak od $\frac{2\pi}{3}$ (jer je $2\pi = 3 \cdot \frac{2\pi}{3}$ ), njihov najmanji zajednički sadržalac je $2\pi .$

T = 2\pi

Započni učenje

Online časovi

858.b

Beleške