Sistem sa sinusom razlike i zbirom uglova pi/2

Iz druge jednačine izražavamo $y$ preko $x .$

y = \frac{\pi}{2} - x

Zamenjujemo $y$ u prvu jednačinu.

\sin\left(x - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = 2 \sin x \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

Sređujemo izraz unutar sinusa na levoj strani i primenjujemo trigonometrijski identitet $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ na desnoj strani.

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin x \cos x

Primenjujemo svojstvo neparnosti sinusa $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ i identitet $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha$ na levoj strani, a formulu za sinus dvostrukog ugla na desnoj strani.

-\cos 2x = \sin 2x

Delimo jednačinu sa $\cos 2x$ (uz uslov da je $\cos 2x \neq 0 ,$ što je tačno jer bi u suprotnom i $\sin 2x$ morao biti nula, što je nemoguće).

\tan 2x = -1

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu po $2x .$

2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Delimo sa 2 da bismo dobili $x .$

x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Sada računamo $y$ zamenom dobijenog $x$ u izraz $y = \frac{\pi}{2} - x .$

y = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\right)

Sređujemo izraz za $y .$

y = \frac{5\pi}{8} - \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje sistema kao uređeni par $(x, y) .$

(x, y) = \left(-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \frac{5\pi}{8} - \frac{k\pi}{2}\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

966

Beleške