2912.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sisteme jednačina (zadaci 964-971):

{sin⁡(x−y)=2sin⁡xsin⁡yx+y=π2\begin{cases} \sin(x - y) = 2 \sin x \sin y \\ x + y = \frac{\pi}{2} \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Iz druge jednačine izražavamo y y preko x. x .

y=π2−xy = \frac{\pi}{2} - x

Zamenjujemo y y u prvu jednačinu.

sin⁡(x−(π2−x))=2sin⁡xsin⁡(π2−x)\sin\left(x - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = 2 \sin x \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

Sređujemo izraz unutar sinusa na levoj strani i primenjujemo trigonometrijski identitet sin⁡(π2−x)=cos⁡x \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x na desnoj strani.

sin⁡(2x−π2)=2sin⁡xcos⁡x\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = 2 \sin x \cos x

Primenjujemo svojstvo neparnosti sinusa sin⁡(−α)=−sin⁡α \sin(-\alpha) = -\sin \alpha i identitet sin⁡(π2−α)=cos⁡α \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha na levoj strani, a formulu za sinus dvostrukog ugla na desnoj strani.

−cos⁡2x=sin⁡2x-\cos 2x = \sin 2x

Delimo jednačinu sa cos⁡2x \cos 2x (uz uslov da je cos⁡2x≠0, \cos 2x \neq 0 , što je tačno jer bi u suprotnom i sin⁡2x \sin 2x morao biti nula, što je nemoguće).

tan⁡2x=−1\tan 2x = -1

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu po 2x. 2x .

2x=−π4+kπ,k∈Z2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Delimo sa 2 da bismo dobili x. x .

x=−π8+kπ2,k∈Zx = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Sada računamo y y zamenom dobijenog x x u izraz y=π2−x. y = \frac{\pi}{2} - x .

y=π2−(−π8+kπ2)y = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\right)

Sređujemo izraz za y. y .

y=5π8−kπ2,k∈Zy = \frac{5\pi}{8} - \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje sistema kao uređeni par (x,y). (x, y) .

(x,y)=(−π8+kπ2,5π8−kπ2),k∈Z(x, y) = \left(-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \frac{5\pi}{8} - \frac{k\pi}{2}\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti