2913. Trigonometrijske jednačine

Zapišimo dati sistem jednačina.

\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \cos 2x - \cos 2y = 1 \end{cases}

Primenimo formule za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ i $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$ na drugu jednačinu.

(1 - 2\sin^2 x) - (2\cos^2 y - 1) = 1

Sredimo dobijenu jednačinu.

2 - 2\sin^2 x - 2\cos^2 y = 1 \implies 2\sin^2 x + 2\cos^2 y = 1

Iz prve jednačine izrazimo $\cos y .$

\cos y = 1 - \sin x

Zamenimo $\cos y$ u sređenu drugu jednačinu.

2\sin^2 x + 2(1 - \sin x)^2 = 1

Kvadriramo izraz u zagradi i grupišemo slične članove.

2\sin^2 x + 2(1 - 2\sin x + \sin^2 x) = 1 \implies 4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0

Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani jednačine.

(2\sin x - 1)^2 = 0

Rešavamo jednačinu po $\sin x .$

2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}

Vratimo dobijenu vrednost za $\sin x$ u jednačinu za $\cos y .$

\cos y = 1 - \frac{1}{2} \implies \cos y = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu za $x .$

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu za $y .$

y = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje sistema kao skup uređenih parova $(x, y) .$

(x, y) \in \left\{ \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi \right), \left( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi \right) \right\}, \quad k, m \in \mathbb{Z}

969