2914. Trigonometrijske jednačine

Sabiranjem i oduzimanjem jednačina sistema dobijamo novi, ekvivalentan sistem:

\begin{cases} \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ \sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \end{cases}

Sređivanjem desne strane dobijamo:

\begin{cases} \sin x \cos y + \cos x \sin y = 1 \\ \sin x \cos y - \cos x \sin y = 0 \end{cases}

Primenom adicionih formula za sinus zbira i razlike uglova, sistem postaje:

\begin{cases} \sin(x+y) = 1 \\ \sin(x-y) = 0 \end{cases}

Rešavanjem prve jednačine po $x+y$ dobijamo:

x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine po $x-y$ dobijamo:

x-y = m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Sada imamo sistem linearnih jednačina:

\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ x-y = m\pi \end{cases}

Sabiranjem ovih jednačina dobijamo $2x :$

2x = \frac{\pi}{2} + (2k+m)\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + (2k+m)\frac{\pi}{2}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo $2y :$

2y = \frac{\pi}{2} + (2k-m)\pi \implies y = \frac{\pi}{4} + (2k-m)\frac{\pi}{2}

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova $(x, y) :$

(x, y) = \left( \frac{\pi}{4} + (2k+m)\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} + (2k-m)\frac{\pi}{2} \right), \quad k, m \in \mathbb{Z}

2914.Trigonometrijske jednačine