Sistem sa razlomkom tangensa i tangensom y

Primenjujemo trigonometrijski identitet za tangens razlike uglova na levu stranu prve jednačine. Znamo da je $\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 ,$ pa izraz možemo zapisati kao:

\frac{1 - \text{tg } x}{1 + \text{tg } x} = \frac{\text{tg } \frac{\pi}{4} - \text{tg } x}{1 + \text{tg } \frac{\pi}{4} \cdot \text{tg } x} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right)

Zamenjujemo dobijeni izraz u prvu jednačinu:

\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \text{tg } y

Rešavamo ovu trigonometrijsku jednačinu. Dva ugla imaju isti tangens ako se razlikuju za celobrojni umnožak od $\pi :$

\frac{\pi}{4} - x = y + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sređujemo jednačinu tako da nepoznate budu na jednoj strani. S obzirom na to da je $k$ ceo broj, znak ispred $k\pi$ možemo promeniti u plus:

x + y = \frac{\pi}{4} + k\pi

Sada imamo sistem dve linearne jednačine sa dve nepoznate:

\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x - y = \frac{\pi}{6} \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:

2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k\pi

Računamo vrednost za $x :$

2x = \frac{3\pi + 2\pi}{12} + k\pi = \frac{5\pi}{12} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:

2y = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + k\pi

Računamo vrednost za $y :$

2y = \frac{3\pi - 2\pi}{12} + k\pi = \frac{\pi}{12} + k\pi \implies y = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}

Proveravamo uslove definisanosti tangensa ( $x, y \neq \frac{\pi}{2} + m\pi$ ) i imenioca ( $\text{tg } x \neq -1$ ). Dobijena rešenja ne narušavaju ove uslove ni za jedno celobrojno $k .$

Konačno rešenje sistema je uređeni par $(x, y) :$

(x, y) = \left( \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

967

Beleške