2925. Trigonometrijske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo konstantu na desnu stranu nejednačine.

\text{tg } x \le \sqrt{3}

Funkcija tangens je periodična sa osnovnim periodom $\pi .$ Zato ćemo prvo rešiti nejednačinu na jednom osnovnom intervalu, na primer $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .$

Određujemo za koje vrednosti $x$ iz ovog intervala važi jednakost $\text{tg } x = \sqrt{3} .$

x = \frac{\pi}{3}

Na intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ,$ funkcija tangens je strogo rastuća. Zato nejednakost $\text{tg } x \le \sqrt{3}$ važi za sve vrednosti od donje granice domena (koja nije uključena) do $\frac{\pi}{3}$ (koja je uključena).

x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right]

Zbog periodičnosti funkcije tangens, dodajemo period $k\pi$ (gde je $k \in \mathbb{Z}$ ) na obe granice intervala kako bismo dobili konačno opšte rešenje.

x \in \left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{3} + k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}

972.v