2925.

972.v

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: tg x−3≤0; \text{tg } x - \sqrt{3} \le 0;

REŠENJE ZADATKA

Prebacujemo konstantu na desnu stranu nejednačine.

tg x≤3\text{tg } x \le \sqrt{3}

Funkcija tangens je periodična sa osnovnim periodom π. \pi . Zato ćemo prvo rešiti nejednačinu na jednom osnovnom intervalu, na primer (−π2,π2). \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .

Određujemo za koje vrednosti x x iz ovog intervala važi jednakost tg x=3. \text{tg } x = \sqrt{3} .

x=π3x = \frac{\pi}{3}

Na intervalu (−π2,π2), \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , funkcija tangens je strogo rastuća. Zato nejednakost tg x≤3 \text{tg } x \le \sqrt{3} važi za sve vrednosti od donje granice domena (koja nije uključena) do π3 \frac{\pi}{3} (koja je uključena).

x∈(−π2,π3]x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right]

Zbog periodičnosti funkcije tangens, dodajemo period kπ k\pi (gde je k∈Z k \in \mathbb{Z} ) na obe granice intervala kako bismo dobili konačno opšte rešenje.

x∈(−π2+kπ,π3+kπ],k∈Zx \in \left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{3} + k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}