2513. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Prvo koristimo osobinu periodičnosti tangens funkcije, gde je $\text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg } \alpha .$

A = \frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} + \frac{\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha}

Primećujemo da oba razlomka imaju zajednički faktor $\text{tg } \alpha$ u brojilacu, pa ga možemo izvući ispred zagrade.

A = \text{tg } \alpha \left( \frac{1}{1 + \text{tg } \alpha} + \frac{1}{1 - \text{tg } \alpha} \right)

Sada sabiramo razlomke unutar zagrade nalaženjem zajedničkog imenioca, koji je razlika kvadrata $(1 + \text{tg } \alpha)(1 - \text{tg } \alpha) = 1 - \text{tg}^2 \alpha .$

A = \text{tg } \alpha \cdot \frac{(1 - \text{tg } \alpha) + (1 + \text{tg } \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Sređujemo brojilac unutar razlomka.

A = \text{tg } \alpha \cdot \frac{2}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Zapisujemo izraz u obliku koji prepoznajemo kao formulu za tangens dvostrukog ugla.

A = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Koristeći formulu $\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} ,$ dobijamo konačno rešenje.

A = \text{tg } 2\alpha

695