2513.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz A=tg α1+tg α+tg(α+π)1−tg α. A = \frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} + \frac{\text{tg}(\alpha + \pi)}{1 - \text{tg } \alpha} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo osobinu periodičnosti tangens funkcije, gde je tg(α+π)=tg α. \text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg } \alpha .

A=tg α1+tg α+tg α1−tg αA = \frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} + \frac{\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha}

Primećujemo da oba razlomka imaju zajednički faktor tg α \text{tg } \alpha u brojilacu, pa ga možemo izvući ispred zagrade.

A=tg α(11+tg α+11−tg α)A = \text{tg } \alpha \left( \frac{1}{1 + \text{tg } \alpha} + \frac{1}{1 - \text{tg } \alpha} \right)

Sada sabiramo razlomke unutar zagrade nalaženjem zajedničkog imenioca, koji je razlika kvadrata (1+tg α)(1−tg α)=1−tg2α. (1 + \text{tg } \alpha)(1 - \text{tg } \alpha) = 1 - \text{tg}^2 \alpha .

A=tg α⋅(1−tg α)+(1+tg α)1−tg2αA = \text{tg } \alpha \cdot \frac{(1 - \text{tg } \alpha) + (1 + \text{tg } \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Sređujemo brojilac unutar razlomka.

A=tg α⋅21−tg2αA = \text{tg } \alpha \cdot \frac{2}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Zapisujemo izraz u obliku koji prepoznajemo kao formulu za tangens dvostrukog ugla.

A=2tg α1−tg2αA = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Koristeći formulu tg 2α=2tg α1−tg2α, \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} , dobijamo konačno rešenje.

A=tg 2αA = \text{tg } 2\alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti