2511. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Primenjujemo adicione formule za tangens zbira i razlike uglova: $\text{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg } \alpha \pm \text{tg } \beta}{1 \mp \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} .$ Kako je $\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 ,$ dobijamo sledeće izraze:

\text{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha}, \quad \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha}

Sada uvrštavamo ove izraze u početnu razliku i svodimo na zajednički imenilac:

\frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha} - \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} = \frac{(1 + \text{tg } \alpha)^2 - (1 - \text{tg } \alpha)^2}{(1 - \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \alpha)}

Kvadriramo binome u brojiocu i primenjujemo razliku kvadrata u imeniocu:

\frac{(1 + 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha) - (1 - 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Sređujemo brojilac oduzimanjem članova:

\frac{1 + 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha - 1 + 2\text{tg } \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{4\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Izvlačimo zajednički faktor 2 kako bismo prepoznali formulu za tangens dvostrukog ugla $\text{tg } 2\alpha = \frac{2\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} :$

2 \cdot \left( \frac{2\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \right) = 2 \cdot \text{tg } 2\alpha

Zamenjujemo datu vrednost $\text{tg } 2\alpha = 3$ u dobijeni izraz:

2 \cdot 3 = 6

694