2511.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost izraza tg(π4+α)−tg(π4−α), \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) , ako je poznato da je tg 2α=3. \text{tg } 2\alpha = 3 .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicione formule za tangens zbira i razlike uglova: tg(α±β)=tg α±tg β1∓tg αtg β. \text{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg } \alpha \pm \text{tg } \beta}{1 \mp \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} . Kako je tg π4=1, \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 , dobijamo sledeće izraze:

tg(π4+α)=1+tg α1−tg α,tg(π4−α)=1−tg α1+tg α\text{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha}, \quad \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha}

Sada uvrštavamo ove izraze u početnu razliku i svodimo na zajednički imenilac:

1+tg α1−tg α−1−tg α1+tg α=(1+tg α)2−(1−tg α)2(1−tg α)(1+tg α)\frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha} - \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} = \frac{(1 + \text{tg } \alpha)^2 - (1 - \text{tg } \alpha)^2}{(1 - \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \alpha)}

Kvadriramo binome u brojiocu i primenjujemo razliku kvadrata u imeniocu:

(1+2tg α+tg2α)−(1−2tg α+tg2α)1−tg2α\frac{(1 + 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha) - (1 - 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha)}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Sređujemo brojilac oduzimanjem članova:

1+2tg α+tg2α−1+2tg α−tg2α1−tg2α=4tg α1−tg2α\frac{1 + 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha - 1 + 2\text{tg } \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{4\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Izvlačimo zajednički faktor 2 kako bismo prepoznali formulu za tangens dvostrukog ugla tg 2α=2tg α1−tg2α: \text{tg } 2\alpha = \frac{2\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} :

2⋅(2tg α1−tg2α)=2⋅tg 2α2 \cdot \left( \frac{2\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \right) = 2 \cdot \text{tg } 2\alpha

Zamenjujemo datu vrednost tg 2α=3 \text{tg } 2\alpha = 3 u dobijeni izraz:

2⋅3=62 \cdot 3 = 6

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti