2520.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Znajući da je tg π3=3, \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} , izračunati: ctg 2π3. \text{ctg } \frac{2\pi}{3} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo vrednost ctg π3 \text{ctg } \frac{\pi}{3} koristeći vezu između tangensa i kotangensa istog ugla:

ctg α=1tg α\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}

Zamenjujemo datu vrednost tg π3=3: \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} :

ctg π3=13=33\text{ctg } \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Koristimo formulu za kotangens dvostrukog ugla ctg 2α=ctg2α−12ctg α \text{ctg } 2\alpha = \frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg } \alpha} gde je α=π3: \alpha = \frac{\pi}{3} :

ctg (2⋅π3)=ctg2π3−12ctg π3\text{ctg } \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\text{ctg}^2 \frac{\pi}{3} - 1}{2 \text{ctg } \frac{\pi}{3}}

Uvrštavamo izračunatu vrednost ctg π3=13 \text{ctg } \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} u formulu:

ctg 2π3=(13)2−12⋅13\text{ctg } \frac{2\pi}{3} = \frac{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}

Sređujemo brojilac i imenilac:

ctg 2π3=13−123=−2323\text{ctg } \frac{2\pi}{3} = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}

Rešavamo dvojni razlomak i racionališemo rezultat:

ctg 2π3=−2⋅33⋅2=−33\text{ctg } \frac{2\pi}{3} = -\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti