2519. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Primetimo da se traženi ugao $\frac{2\pi}{3}$ može zapisati kao dvostruki ugao $2 \cdot \frac{\pi}{3} .$ Koristimo formulu za tangens dvostrukog ugla:

\text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}

Uvodimo smenu $\alpha = \frac{\pi}{3}$ u formulu. Znamo da je $\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} ,$ pa zamenjujemo vrednosti u izraz:

\text{tg } \frac{2\pi}{3} = \frac{2 \text{tg } \frac{\pi}{3}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\pi}{3}}

Računamo vrednost imenioca i brojila:

\text{tg } \frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2}

Kvadriramo koren u imeniocu i sređujemo izraz:

\text{tg } \frac{2\pi}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{1 - 3}

Dobijamo konačan rezultat deljenjem:

\text{tg } \frac{2\pi}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}

693.v