2510.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Znajući da je tg π3=3, \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} , izračunati: cos⁡2π3. \cos \frac{2\pi}{3} .

REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se traženi ugao 2π3 \frac{2\pi}{3} može napisati kao dvostruki ugao 2⋅π3. 2 \cdot \frac{\pi}{3} . Koristićemo formulu za kosinus dvostrukog ugla:

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Da bismo izračunali cos⁡2π3, \cos \frac{2\pi}{3} , potrebne su nam vrednosti sin⁡π3 \sin \frac{\pi}{3} i cos⁡π3. \cos \frac{\pi}{3} . Koristimo datu vrednost tangensa:

tg π3=3\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}

Znamo da je za ugao π3 \frac{\pi}{3} (što je 60 stepeni) u prvom kvadrantu:

cos⁡π3=12,sin⁡π3=32\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sada primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla na α=π3: \alpha = \frac{\pi}{3} :

cos⁡(2⋅π3)=cos⁡2π3−sin⁡2π3\cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \cos^2 \frac{\pi}{3} - \sin^2 \frac{\pi}{3}

Zamenjujemo poznate vrednosti u izraz:

cos⁡2π3=(12)2−(32)2\cos \frac{2\pi}{3} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2

Računamo kvadrate i vršimo oduzimanje:

cos⁡2π3=14−34\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}

Konačno, dobijamo vrednost izvlačenjem zajedničkog faktora 14: \frac{1}{4} :

cos⁡2π3=14(1−3)=14(−2)=−12\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{4}(1 - 3) = \frac{1}{4}(-2) = -\frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti