2510. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Primetimo da se traženi ugao $\frac{2\pi}{3}$ može napisati kao dvostruki ugao $2 \cdot \frac{\pi}{3} .$ Koristićemo formulu za kosinus dvostrukog ugla:

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Da bismo izračunali $\cos \frac{2\pi}{3} ,$ potrebne su nam vrednosti $\sin \frac{\pi}{3}$ i $\cos \frac{\pi}{3} .$ Koristimo datu vrednost tangensa:

\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}

Znamo da je za ugao $\frac{\pi}{3}$ (što je 60 stepeni) u prvom kvadrantu:

\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sada primenjujemo formulu za kosinus dvostrukog ugla na $\alpha = \frac{\pi}{3} :$

\cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \cos^2 \frac{\pi}{3} - \sin^2 \frac{\pi}{3}

Zamenjujemo poznate vrednosti u izraz:

\cos \frac{2\pi}{3} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2

Računamo kvadrate i vršimo oduzimanje:

\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}

Konačno, dobijamo vrednost izvlačenjem zajedničkog faktora $\frac{1}{4} :$

\cos \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{4}(1 - 3) = \frac{1}{4}(-2) = -\frac{1}{2}

693.b