Jednačina: sin(2x + π/3) = sin(2x + π/4)

Kada imamo jednačinu oblika $\sin \alpha = \sin \beta ,$ rešenja dobijamo iz dva slučaja:

1) \alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{ili} \quad 2) \alpha = \pi - \beta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Razmatramo prvi slučaj:

2x + \frac{\pi}{3} = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi

Sređujemo jednačinu oduzimanjem $2x$ sa obe strane:

\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2k\pi

Računamo razliku razlomaka:

\frac{4\pi - 3\pi}{12} = 2k\pi \implies \frac{\pi}{12} = 2k\pi

Primećujemo da za $k \in \mathbb{Z}$ ova jednakost nikada nije ispunjena, jer je $\frac{1}{12} \neq 2k .$ Dakle, u prvom slučaju nema rešenja.

Razmatramo drugi slučaj:

2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi

Oslobađamo se zagrade i grupišemo nepoznate na levu stranu:

2x + \frac{\pi}{3} = \pi - 2x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies 4x = \pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi

Sređujemo desnu stranu nalaženjem zajedničkog sadržaoca:

4x = \frac{12\pi - 3\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi \implies 4x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi

Delimo celu jednačinu sa 4 kako bismo dobili konačno rešenje:

x = \frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

884