2805.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti trigonometrijsku jednačinu: sin⁡(2x+π3)=sin⁡(2x+π4). \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) .

REŠENJE ZADATKA

Kada imamo jednačinu oblika sin⁡α=sin⁡β, \sin \alpha = \sin \beta , rešenja dobijamo iz dva slučaja:

1)α=β+2kπili2)α=π−β+2kπ,k∈Z1) \alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{ili} \quad 2) \alpha = \pi - \beta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Razmatramo prvi slučaj:

2x+π3=2x+π4+2kπ2x + \frac{\pi}{3} = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi

Sređujemo jednačinu oduzimanjem 2x 2x sa obe strane:

π3=π4+2kπ  ⟹  π3−π4=2kπ\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2k\pi

Računamo razliku razlomaka:

4π−3π12=2kπ  ⟹  π12=2kπ\frac{4\pi - 3\pi}{12} = 2k\pi \implies \frac{\pi}{12} = 2k\pi

Primećujemo da za k∈Z k \in \mathbb{Z} ova jednakost nikada nije ispunjena, jer je 112≠2k. \frac{1}{12} \neq 2k . Dakle, u prvom slučaju nema rešenja.

Razmatramo drugi slučaj:

2x+π3=π−(2x+π4)+2kπ2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + 2k\pi

Oslobađamo se zagrade i grupišemo nepoznate na levu stranu:

2x+π3=π−2x−π4+2kπ  ⟹  4x=π−π4−π3+2kπ2x + \frac{\pi}{3} = \pi - 2x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies 4x = \pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi

Sređujemo desnu stranu nalaženjem zajedničkog sadržaoca:

4x=12π−3π−4π12+2kπ  ⟹  4x=5π12+2kπ4x = \frac{12\pi - 3\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi \implies 4x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi

Delimo celu jednačinu sa 4 kako bismo dobili konačno rešenje:

x=5π48+kπ2,k∈Zx = \frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti