2804.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti po x x jednačinu: tgx=tgα. \text{tg} x = \text{tg} \alpha .

tgx=tgα\text{tg} x = \text{tg} \alpha
REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo definisati domen jednačine. Funkcija tgt \text{tg} t je definisana za sve realne brojeve osim onih za koje je kosinus jednak nuli. Dakle, moraju važiti sledeći uslovi:

x≠π2+kπ,α≠π2+mπ,k,m∈Zx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad \alpha \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad k, m \in \mathbf{Z}

Jednačinu možemo rešiti koristeći definiciju tangensa preko sinusa i kosinusa:

sin⁡xcos⁡x=sin⁡αcos⁡α\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Množenjem unakrsno (uz uvažavanje uslova domena), dobijamo:

sin⁡xcos⁡α=cos⁡xsin⁡α\sin x \cos \alpha = \cos x \sin \alpha

Prebacivanjem svih članova na levu stranu, prepoznajemo adicionu formulu za sinus razlike uglova:

sin⁡xcos⁡α−cos⁡xsin⁡α=0sin⁡(x−α)=0\sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha = 0 \\ \sin(x - \alpha) = 0

Sinus nekog ugla je jednak nuli kada je taj ugao celobrojni umnožak broja π: \pi :

x−α=nπ,n∈Zx - \alpha = n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Izolujemo nepoznatu x x kako bismo dobili opšte rešenje jednačine:

x=α+nπ,n∈Zx = \alpha + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti