Nejednačina: sin x plus sin 3x nenegativno

Koristimo trigonometrijsku formulu za transformaciju zbira sinusa u proizvod: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} .$

Primenom ove formule na levu stranu nejednačine dobijamo:

2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} \ge 0

Sređivanjem razlomaka u argumentima i korišćenjem parnosti kosinusa ( $\cos(-x) = \cos x$ ) dobijamo:

2 \sin(2x) \cos(x) \ge 0

Sada primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x :$

2 (2 \sin x \cos x) \cos x \ge 0

Množenjem odgovarajućih činilaca dobijamo:

4 \sin x \cos^2 x \ge 0

Deljenjem cele nejednačine sa 4, ona se svodi na:

\sin x \cos^2 x \ge 0

Kvadrat realnog broja je uvek nenegativan, pa važi $\cos^2 x \ge 0$ za svako $x .$ Proizvod će biti veći ili jednak nuli u dva slučaja: kada je $\cos x = 0$ ili kada je $\sin x \ge 0 .$

Prvi slučaj je kada je $\cos x = 0 .$ Rešavanjem ove osnovne trigonometrijske jednačine dobijamo:

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je kada je $\sin x \ge 0 .$ Rešenja ove nejednačine obuhvataju gornju polukružnicu trigonometrijskog kruga:

x \in [2k\pi, \pi + 2k\pi], \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja. Primetimo da se rešenja oblika $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ već nalaze u intervalu $[2k\pi, \pi + 2k\pi] ,$ dok rešenja oblika $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ moramo dodati kao izolovane tačke.

Zapisujemo konačan skup rešenja:

x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( [2k\pi, \pi + 2k\pi] \cup \left\{ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right\} \right)

Započni učenje

Online časovi

984

Beleške