2940. Trigonometrijske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu $t = \cos x .$ Nejednačina postaje:

2t^2 - 3t + 1 > 0

Faktorišemo kvadratni trinom. Prvo nalazimo njegove nule rešavanjem jednačine $2t^2 - 3t + 1 = 0 :$

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}

Nule su $t_1 = 1$ i $t_2 = \frac{1}{2} .$ Nejednačinu možemo zapisati u faktorisanom obliku:

2\left(t - \frac{1}{2}\right)(t - 1) > 0

t \in (-\infty, \frac{1}{2})

t \in (\frac{1}{2}, 1)

t \in (1, +\infty)

t - \frac{1}{2}

+

+

+

t - 1

+

+

+

2(t - \frac{1}{2})(t - 1)

+

+

+

Na osnovu tabele znakova, izraz je strogo pozitivan kada je:

t < \frac{1}{2} \quad \lor \quad t > 1

Vraćamo smenu $t = \cos x$ i dobijamo dve trigonometrijske nejednačine:

\cos x < \frac{1}{2} \quad \lor \quad \cos x > 1

Analiziramo drugu nejednačinu. Kako je kodomen kosinusne funkcije interval $[-1, 1] ,$ nejednačina $\cos x > 1$ nema realnih rešenja.

\cos x > 1 \implies x \in \emptyset

Rešavamo prvu nejednačinu. Na trigonometrijskoj kružnici, prava $X = \frac{1}{2}$ seče kružnicu u tačkama koje odgovaraju uglovima $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{5\pi}{3} .$

\cos x < \frac{1}{2}

Kosinus je manji od $\frac{1}{2}$ za uglove koji se nalaze na levom luku kružnice između ovih vrednosti. Dodavanjem perioda $2\pi$ dobijamo konačno rešenje:

x \in \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

986.a