2936.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: (2−2cos⁡x−1)cos⁡x≥0. (\sqrt{2} - 2 \cos x - 1) \cos x \ge 0.

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=cos⁡x. t = \cos x . Nejednačina postaje:

(2−2t−1)t≥0(\sqrt{2} - 2t - 1) t \ge 0

Određujemo nule svakog činioca kako bismo formirali tabelu znakova:

t1=0,2−2t−1=0  ⟹  t2=2−12t_1 = 0, \quad \sqrt{2} - 2t - 1 = 0 \implies t_2 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}
t∈(−∞,0)t \in (-\infty, 0)
t∈(0,2−12)t \in \left(0, \frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)
t∈(2−12,+∞)t \in \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}, +\infty\right)
tt
−-
++
++
2−2t−1\sqrt{2} - 2t - 1
++
++
−-
(2−2t−1)t(\sqrt{2} - 2t - 1)t
−-
++
−-

Na osnovu tabele znakova, pošto tražimo gde je izraz veći ili jednak nuli, rešenje nejednačine po t t je:

t∈[0,2−12]t \in \left[ 0, \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \right]

Vraćamo smenu t=cos⁡x, t = \cos x , pa dobijamo dvostruku nejednačinu:

0≤cos⁡x≤2−120 \le \cos x \le \frac{\sqrt{2} - 1}{2}

Rešavamo ovu nejednačinu posmatrajući trigonometrijsku kružnicu. Tražimo uglove za koje je apscisa (vrednost kosinusa) između 0 0 i 2−12. \frac{\sqrt{2} - 1}{2} .

Neka je α=arccos⁡(2−12). \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) . Pošto je 0<2−12<1, 0 < \frac{\sqrt{2} - 1}{2} < 1 , ugao α \alpha pripada prvom kvadrantu, odnosno 0<α<π2. 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} .

Na trigonometrijskoj kružnici, uslov 0≤cos⁡x≤2−12 0 \le \cos x \le \frac{\sqrt{2} - 1}{2} je ispunjen u dva intervala unutar jednog osnovnog perioda [−π,π]: [-\pi, \pi] :

x∈[α,π2]∪[−π2,−α]x \in \left[ \alpha, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ -\frac{\pi}{2}, -\alpha \right]

Dodavanjem perioda 2kπ 2k\pi dobijamo konačno rešenje:

x∈[arccos⁡(2−12)+2kπ,π2+2kπ]∪[−π2+2kπ,−arccos⁡(2−12)+2kπ],k∈Zx \in \left[ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right) + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right] \cup \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, -\arccos\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right) + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti