Nejednačina sa proizvodom dva izraza po kosinusu

Uvodimo smenu $t = \cos x .$ Nejednačina postaje:

(\sqrt{2} - 2t - 1) t \ge 0

Određujemo nule svakog činioca kako bismo formirali tabelu znakova:

t_1 = 0, \quad \sqrt{2} - 2t - 1 = 0 \implies t_2 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}

t \in (-\infty, 0)

t \in \left(0, \frac{\sqrt{2}-1}{2}\right)

t \in \left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}, +\infty\right)

t

-

+

+

\sqrt{2} - 2t - 1

+

+

-

(\sqrt{2} - 2t - 1)t

-

+

-

Na osnovu tabele znakova, pošto tražimo gde je izraz veći ili jednak nuli, rešenje nejednačine po $t$ je:

t \in \left[ 0, \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \right]

Vraćamo smenu $t = \cos x ,$ pa dobijamo dvostruku nejednačinu:

0 \le \cos x \le \frac{\sqrt{2} - 1}{2}

Rešavamo ovu nejednačinu posmatrajući trigonometrijsku kružnicu. Tražimo uglove za koje je apscisa (vrednost kosinusa) između $0$ i $\frac{\sqrt{2} - 1}{2} .$

Neka je $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) .$ Pošto je $0 < \frac{\sqrt{2} - 1}{2} < 1 ,$ ugao $\alpha$ pripada prvom kvadrantu, odnosno $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} .$

Na trigonometrijskoj kružnici, uslov $0 \le \cos x \le \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ je ispunjen u dva intervala unutar jednog osnovnog perioda $[-\pi, \pi] :$

x \in \left[ \alpha, \frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ -\frac{\pi}{2}, -\alpha \right]

Dodavanjem perioda $2k\pi$ dobijamo konačno rešenje:

x \in \left[ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right) + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right] \cup \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, -\arccos\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\right) + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

991

Beleške