Nejednačina: sin 2x minus sin x veće od nule

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ i transformišemo nejednačinu.

2 \sin x \cos x - \sin x > 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin x$ ispred zagrade.

\sin x (2 \cos x - 1) > 0

Da bismo odredili znak proizvoda, tražimo nule činilaca na intervalu $[0, 2\pi] .$

\begin{aligned} \sin x &= 0 \implies x \in \{0, \pi, 2\pi\} \\ 2\cos x - 1 &= 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\} \end{aligned}

Dobijene nule dele osnovni interval $[0, 2\pi]$ na četiri podintervala. Formiramo tabelu znakova za svaki činilac.

x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)

x \in \left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)

x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)

x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)

\sin x

+

+

-

-

2\cos x - 1

+

-

-

+

\text{Proizvod}

+

-

+

-

Na osnovu tabele znakova, proizvod je strogo pozitivan na intervalima gde je znak `+`. Pošto je nejednačina stroga ( $> 0$ ), rubne tačke ne ulaze u rešenje.

x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)

Započni učenje

Online časovi

988.b

Beleške