Nejednačina sa grupisanjem: kosinus i tangens x

Prvo, određujemo domen nejednačine. Funkcija tangens nije definisana za $x = \frac{\pi}{2}$ i $x = \frac{3\pi}{2} .$ Uzimajući u obzir dati interval, domen je:

x \in [0, 2\pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}

Faktorišemo izraz na levoj strani nejednačine grupovanjem članova:

(\sqrt{2} \cos x \text{ tg } x - \sqrt{6} \cos x) + (\text{tg } x - \sqrt{3}) > 0

Izvlačimo zajednički faktor $\sqrt{2} \cos x$ iz prve zagrade:

\sqrt{2} \cos x (\text{tg } x - \sqrt{3}) + 1 \cdot (\text{tg } x - \sqrt{3}) > 0

Sada izvlačimo zajednički faktor $\text{tg } x - \sqrt{3} :$

(\sqrt{2} \cos x + 1)(\text{tg } x - \sqrt{3}) > 0

Da bismo rešili nejednačinu, tražimo nule svakog faktora na intervalu $[0, 2\pi] .$

Rešavamo prvu jednačinu:

\sqrt{2} \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Rešenja ove jednačine na intervalu $[0, 2\pi]$ su:

x_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}

Rešavamo drugu jednačinu:

\text{tg } x - \sqrt{3} = 0 \implies \text{tg } x = \sqrt{3}

Rešenja ove jednačine na intervalu $[0, 2\pi]$ su:

x_3 = \frac{\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{4\pi}{3}

Kritične tačke koje dele domen na intervale su nule faktora i tačke prekida tangensa: $0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi .$

Formiramo tabelu znakova za faktore i njihov proizvod na dobijenim intervalima.

[0, \frac{\pi}{3})

(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})

(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})

(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})

(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3})

(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})

(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]

\sqrt{2} \cos x + 1

+

+

+

−

+

+

+

\text{tg } x - \sqrt{3}

−

+

−

−

−

+

−

\text{Proizvod}

−

+

−

+

−

+

−

Na osnovu tabele znakova, proizvod je pozitivan na intervalima gde je znak "+". Zato je konačno rešenje nejednačine:

x \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}\right)

Započni učenje

Online časovi

988.v

Beleške