2941. Trigonometrijske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijski identitet za kosinus dvostrukog ugla:

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1

Zamenjujemo ovaj identitet u polaznu nejednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu:

2\cos^2 x - 1 > \cos x \implies 2\cos^2 x - \cos x - 1 > 0

Uvodimo smenu $t = \cos x .$ Nejednačina postaje kvadratna:

2t^2 - t - 1 > 0

Faktorišemo kvadratni trinom $2t^2 - t - 1 .$ Njegove nule su $t_1 = 1$ i $t_2 = -\frac{1}{2} ,$ pa se nejednačina može zapisati u obliku proizvoda:

2\left(t - 1\right)\left(t + \frac{1}{2}\right) > 0 \implies (t - 1)(2t + 1) > 0

Pravimo tabelu znakova za faktore $2t+1$ i $t-1$ kako bismo odredili intervale u kojima je proizvod pozitivan:

t \in (-\infty, -1/2)

t \in (-1/2, 1)

t \in (1, +\infty)

2t+1

-

+

+

t-1

-

-

+

(2t+1)(t-1)

+

-

+

Na osnovu tabele, rešenje kvadratne nejednačine je:

t \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)

Vraćamo smenu $t = \cos x .$ Dobijamo dve odvojene nejednačine:

\cos x < -\frac{1}{2} \quad \text{ili} \quad \cos x > 1

Znamo da je vrednost kosinusa uvek u intervalu $[-1, 1] ,$ pa druga nejednačina nema rešenja:

\cos x > 1 \implies x \in \emptyset

Rešavamo preostalu nejednačinu na trigonometrijskoj kružnici:

\cos x < -\frac{1}{2}

Kosinus je jednak $-\frac{1}{2}$ za uglove:

x_1 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{4\pi}{3}

Sa trigonometrijske kružnice vidimo da je $\cos x < -\frac{1}{2}$ za uglove koji se nalaze strogo između ove dve vrednosti. Uzimajući u obzir zadati domen $x \in [0, 2\pi) ,$ konačno rešenje je:

x \in \left( \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right)

989.g