2938. Trigonometrijske nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Funkcije tangens i kotangens su definisane kada je:

2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{i} \quad 2x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ova dva uslova se mogu objediniti u jedan:

2x \neq \frac{k\pi}{2} \implies x \neq \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Koristimo vezu između tangensa i kotangensa, $\text{ctg } 2x = \frac{1}{\text{tg } 2x} ,$ i uvodimo smenu $t = \text{tg } 2x :$

2 + t + \frac{1}{t} < 0

Svodimo izraz na zajednički imenilac:

\frac{t^2 + 2t + 1}{t} < 0

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu:

\frac{(t+1)^2}{t} < 0

Pošto je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, tj. $(t+1)^2 \ge 0 ,$ da bi razlomak bio strogo manji od nule, brojilac mora biti strogo pozitivan, a imenilac strogo negativan.

(t+1)^2 > 0 \quad \text{i} \quad t < 0

Iz uslova $(t+1)^2 > 0$ sledi da je $t \neq -1 .$ Dakle, rešenje za $t$ je:

t < 0 \quad \text{i} \quad t \neq -1

Vraćamo smenu $t = \text{tg } 2x :$

\text{tg } 2x < 0 \quad \text{i} \quad \text{tg } 2x \neq -1

Rešavamo nejednačinu $\text{tg } 2x < 0 .$ Tangens je negativan na intervalu $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ unutar svog osnovnog perioda, pa važi:

-\frac{\pi}{2} + k\pi < 2x < k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Takođe, iz uslova $\text{tg } 2x \neq -1$ isključujemo tačke gde je tangens jednak $-1 :$

2x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Kombinovanjem ova dva uslova dobijamo intervale za $2x :$

2x \in \left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, -\frac{\pi}{4} + k\pi\right) \cup \left(-\frac{\pi}{4} + k\pi, k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa $2$ dobijamo konačno rešenje za $x$ (koje ujedno zadovoljava i početni uslov domena):

x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \frac{k\pi}{2}\right), \quad k \in \mathbb{Z}

989.v