2945. Trigonometrijske nejednačine

Prvo, određujemo uslov definisanosti nejednačine. Funkcija kotangens je definisana kada je sinus različit od nule.

\sin 2x \neq 0 \implies 2x \neq k\pi \implies x \neq \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo $\text{ctg } 2x$ preko sinusa i kosinusa.

\sin 4x + \cos 4x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} > 1

Svodimo izraz na levoj strani na zajednički imenilac.

\frac{\sin 4x \sin 2x + \cos 4x \cos 2x}{\sin 2x} > 1

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

\frac{\cos(4x - 2x)}{\sin 2x} > 1

Sređujemo izraz u brojiocu.

\frac{\cos 2x}{\sin 2x} > 1

Prepoznajemo definiciju za kotangens.

\text{ctg } 2x > 1

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Funkcija kotangens je strogo opadajuća i veća od 1 na intervalu $(0, \frac{\pi}{4})$ unutar jednog osnovnog perioda $(0, \pi) .$

k\pi < 2x < \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Delimo nejednakost sa 2 da bismo dobili rešenje za $x .$

\frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Proveravamo uslov definisanosti. Pošto dobijeni intervali ne uključuju tačke oblika $\frac{k\pi}{2} ,$ rešenje je konačno.

x \in \left( \frac{k\pi}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

989.b