Kosinus zbira tri ugla: cos(α + β + γ)

Pošto uglovi pripadaju prvom kvadrantu, njihovi kosinusi su pozitivni. Računamo $\cos \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Na isti način računamo $\cos \beta :$

\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Zatim računamo $\cos \gamma :$

\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira na izraz $\cos(\alpha + \beta + \gamma) ,$ grupišući prva dva ugla:

\cos((\alpha + \beta) + \gamma) = \cos(\alpha + \beta)\cos \gamma - \sin(\alpha + \beta)\sin \gamma

Sada računamo vrednost za $\cos(\alpha + \beta)$ primenom adicione formule:

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65}

Zatim računamo vrednost za $\sin(\alpha + \beta)$ primenom adicione formule:

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}

Zamenjujemo dobijene vrednosti u formulu izvedenu u ranijem koraku:

\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \left(-\frac{16}{65}\right) \cdot \frac{24}{25} - \frac{63}{65} \cdot \frac{7}{25}

Množimo razlomke i oduzimamo ih:

\cos(\alpha + \beta + \gamma) = -\frac{384}{1625} - \frac{441}{1625} = -\frac{825}{1625}

Skraćujemo dobijeni razlomak deljenjem brojioca i imenioca sa 25 kako bismo dobili krajnji rezultat:

\cos(\alpha + \beta + \gamma) = -\frac{33}{65}

781