2693. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Pošto je $\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,$ kosinus je pozitivan. Računamo $\cos \beta :$

\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

Sada računamo $\text{tg } \beta :$

\text{tg } \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3}

Koristeći formulu za tangens dvostrukog ugla, računamo $\text{tg}(2\beta) :$

\text{tg}(2\beta) = \frac{2\text{tg } \beta}{1 - \text{tg}^2 \beta} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4}

Zatim računamo tangens zbira uglova $\alpha$ i $2\beta :$

\text{tg}(\alpha + 2\beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg}(2\beta)}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg}(2\beta)} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4 + 21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1

Analiziramo interval u kojem se nalazi ugao $\alpha + 2\beta .$ Kako su $\text{tg } \alpha = \frac{1}{7} < 1$ i $\text{tg } \beta = \frac{1}{3} < 1 ,$ a uglovi su u prvom kvadrantu, sledi da su $\alpha < \frac{\pi}{4}$ i $\beta < \frac{\pi}{4} .$

0 < \alpha + 2\beta < \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}

Pošto je $\text{tg}(\alpha + 2\beta) = 1$ i ugao pripada intervalu $\left(0, \frac{3\pi}{4}\right) ,$ jedino moguće rešenje je traženi ugao, čime je dokaz završen.

\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}

780