Odredi tg α · tg β iz cos(α + β) i cos(α − β)

Zapišimo traženi izraz preko funkcija sinus i kosinus.

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}

Primenimo formule za pretvaranje proizvoda u zbir i razliku trigonometrijskih funkcija.

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))}{\frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))}

Skratimo razlomak sa $\frac{1}{2} .$

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}

Zamenimo poznate vrednosti $\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{3}$ i $\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$ u dobijeni izraz.

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}

Svedimo razlomke u brojiocu i imeniocu na zajednički imenilac.

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{3 - 5}{15}}{\frac{5 + 3}{15}}

Računamo vrednosti u brojiocu i imeniocu.

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = \frac{\frac{-2}{15}}{\frac{8}{15}}

Sredimo dvojni razlomak i skratimo ga kako bismo dobili konačan rezultat.

\text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}

782