2702. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Koristimo formulu za tangens zbira uglova:

\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta}

Zamenjujemo poznate vrednosti $\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = 2$ i $\text{tg}(\alpha + \beta) = 4$ u formulu:

4 = \frac{2}{1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta}

Rešavamo jednačinu po $\text{tg } \alpha \text{tg } \beta :$

1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta = \frac{2}{4}

Sređivanjem dobijamo vrednost proizvoda:

\text{tg } \alpha \text{tg } \beta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Sada imamo sistem jednačina po $\text{tg } \alpha$ i $\text{tg } \beta :$

\begin{cases} \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = 2 \\ \text{tg } \alpha \text{tg } \beta = \frac{1}{2} \end{cases}

Na osnovu Vijetovih pravila, $\text{tg } \alpha$ i $\text{tg } \beta$ su rešenja kvadratne jednačine po promenljivoj $t :$

t^2 - 2t + \frac{1}{2} = 0

Množenjem jednačine sa $2$ dobijamo:

2t^2 - 4t + 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}

Pojednostavljujemo izraz pod korenom:

t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu i skraćujemo razlomak:

t_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{2})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}

Kako je po uslovu zadatka $\text{tg } \alpha < \text{tg } \beta ,$ dodeljujemo manju vrednost za $\text{tg } \alpha ,$ a veću za $\text{tg } \beta :$

\begin{cases} \text{tg } \alpha = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \\ \text{tg } \beta = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \end{cases}

783