2677.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakost:

2cos⁡40∘−cos⁡20∘sin⁡20∘=3\frac{2 \cos 40^\circ - \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \sqrt{3}
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo samo brojilac datog izraza. Da bismo ga transformisali, možemo iskoristiti poznatu vrednost cos⁡60∘=12 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} i zapisati cos⁡20∘ \cos 20^\circ na sledeći način:

cos⁡20∘=2⋅12cos⁡20∘=2cos⁡60∘cos⁡20∘\cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ = 2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ

Sada na dobijeni izraz primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda u zbir cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)): \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) :

2cos⁡60∘cos⁡20∘=2⋅12(cos⁡(60∘+20∘)+cos⁡(60∘−20∘))=cos⁡80∘+cos⁡40∘2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(60^\circ + 20^\circ) + \cos(60^\circ - 20^\circ)) = \cos 80^\circ + \cos 40^\circ

Zamenjujemo ovo nazad u početni izraz za brojilac:

2cos⁡40∘−cos⁡20∘=2cos⁡40∘−(cos⁡80∘+cos⁡40∘)=cos⁡40∘−cos⁡80∘2 \cos 40^\circ - \cos 20^\circ = 2 \cos 40^\circ - (\cos 80^\circ + \cos 40^\circ) = \cos 40^\circ - \cos 80^\circ

Dobijenu razliku kosinusa transformišemo u proizvod koristeći formulu cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2: \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} :

cos⁡40∘−cos⁡80∘=−2sin⁡40∘+80∘2sin⁡40∘−80∘2\cos 40^\circ - \cos 80^\circ = -2 \sin \frac{40^\circ + 80^\circ}{2} \sin \frac{40^\circ - 80^\circ}{2}

Računamo vrednosti uglova u argumentima sinusa:

−2sin⁡60∘sin⁡(−20∘)-2 \sin 60^\circ \sin(-20^\circ)

Znamo da je sinus neparna funkcija (sin⁡(−x)=−sin⁡x \sin(-x) = -\sin x ) i da je sin⁡60∘=32. \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} . Uvrštavanjem ovih vrednosti dobijamo:

−2⋅32⋅(−sin⁡20∘)=3sin⁡20∘-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sin 20^\circ) = \sqrt{3} \sin 20^\circ

Sada vraćamo transformisani brojilac u početni razlomak:

3sin⁡20∘sin⁡20∘\frac{\sqrt{3} \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ}

Skraćivanjem sin⁡20∘ \sin 20^\circ dobijamo konačan rezultat, čime je jednakost dokazana:

3=3\sqrt{3} = \sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti