Dokaz: (2 cos 40° − cos 20°) kroz sin 20° = √3

Posmatrajmo samo brojilac datog izraza. Da bismo ga transformisali, možemo iskoristiti poznatu vrednost $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ i zapisati $\cos 20^\circ$ na sledeći način:

\cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ = 2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ

Sada na dobijeni izraz primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda u zbir $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) :$

2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(60^\circ + 20^\circ) + \cos(60^\circ - 20^\circ)) = \cos 80^\circ + \cos 40^\circ

Zamenjujemo ovo nazad u početni izraz za brojilac:

2 \cos 40^\circ - \cos 20^\circ = 2 \cos 40^\circ - (\cos 80^\circ + \cos 40^\circ) = \cos 40^\circ - \cos 80^\circ

Dobijenu razliku kosinusa transformišemo u proizvod koristeći formulu $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} :$

\cos 40^\circ - \cos 80^\circ = -2 \sin \frac{40^\circ + 80^\circ}{2} \sin \frac{40^\circ - 80^\circ}{2}

Računamo vrednosti uglova u argumentima sinusa:

-2 \sin 60^\circ \sin(-20^\circ)

Znamo da je sinus neparna funkcija ( $\sin(-x) = -\sin x$ ) i da je $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Uvrštavanjem ovih vrednosti dobijamo:

-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sin 20^\circ) = \sqrt{3} \sin 20^\circ

Sada vraćamo transformisani brojilac u početni razlomak:

\frac{\sqrt{3} \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ}

Skraćivanjem $\sin 20^\circ$ dobijamo konačan rezultat, čime je jednakost dokazana:

\sqrt{3} = \sqrt{3}

Započni učenje

Online časovi

784

Beleške